高考數學備考之 放縮技巧
證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：

一、裂項放縮
例1.(1)求 的值; (2)求證: .
解析:(1)因為 ,所以
(2)因為 ,所以
技巧積累:(1) (2)
(3)
例2.(1)求證:
(2)求證: (3)求證:
(4) 求證：
解析:(1)因為 ,所以
(2)
(3)先運用分式放縮法證明出 ,再結合 進行裂項,最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易經過裂項得到
再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的，
所以
例3.求證:
解析: 一方面: 因為 ,所以
另一方面:
當 時, ,當 時, ,
當 時, ,
所以綜上有
例4.(2008年全國一卷)設函數 .數列 滿足 . .
設 ，整數 .證明: .
解析: 由數學歸納法可以證明 是遞增數列,
故 若存在正整數 , 使 , 則 ,
若 ,則由 知 , ,
因為 ,于是
例5.已知 ,求證: .
解析:首先可以證明:
所以要證
只要證:
故只要證 ,
即等價于 ,
即等價于 而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知 , ,求證: .
解析:
所以

從而
例7.已知 , ,求證:
證明: ,
因為 ,所以
所以
二、函數放縮
例8.求證： .
解析:先構造函數有 ,從而
cause
所以
例9.求證:(1)
解析:構造函數 ,得到 ,再進行裂項 ,求和后可以得到答案
函數構造形式: ,
例10.求證:
解析:提示:
函數構造形式:
當然本題的證明還可以運用積分放縮
如圖,取函數 ,
首先: ,從而,
取 有, ,
所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面 ,從而有
取 有, ,
所以有 ,所以綜上有

例11.求證: 和 .解析:構造函數后即可證明
例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案
函數構造形式: (加強命題)
例13.證明:
解析:構造函數 ,求導,可以得到:
,令 有 ,令 有 ,
所以 ,所以 ,令 有,
所以 ,所以
例14. 已知 證明 .
解析: ,
然后兩邊取自然對數,可以得到
然后運用 和裂項可以得到答案)
放縮思路：
。于是 ，

即
注：題目所給條 （ ）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論 放縮：

，
即
例16.(2008年福州市質檢)已知函數 若
解析:設函數

∴函數 ）上單調遞增，在 上單調遞減.∴ 的最小值為 ，即總有
而

即
令 則

例15.(2008年廈門市質檢) 已知函數 是在 上處處可導的函數,若 在 上恒成立.
(I)求證：函數 上是增函數； (II)當 ；
(III)已知不等式 時恒成立，
求證：
解析:(I) ,所以函數 上是增函數
(II)因為 上是增函數,所以


兩式相加后可以得到
(3)
……

相加后可以得到:
所以
令 ,有

所以
(方法二)
所以
又 ,所以
三、分式放縮
姐妹不等式: 和
記憶口訣”小者小,大者大”
解釋:看b,若b小,則不等號是小于號,反之.
例19. 姐妹不等式: 和
也可以表示成為
和
解析: 利用假分數的一個性質 可得

即
例20.證明:
解析: 運用兩次次分式放縮:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:

所以有
四、分類放縮
例21.求證:
解析:

例22.(2004年全國高中數學聯賽加試改編) 在平面直角坐標系 中, 軸正半軸上的點列 與曲線 （ ≥0）上的點列 滿足 ，直線 在x軸上的截距為 .點 的橫坐標為 , .
(1)證明 > >4， ; (2)證明有 ，使得對 都有 < .
解析:(1) 依題設有： ，由 得：
,又直線 在 軸上的截距為 滿足


顯然，對于 ，有
(2)證明：設 ，則


設 ，則當 時，

。
所以，取 ，對 都有：

故有 < 成立。
例23.(2007年泉州市高三質檢) 已知函數 ，若 的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0].若數列 滿足 ，記數列 的前 項和為 ，問是否存在正常數A，使得對于任意正整數 都有 ？并證明你的結論。
解析:首先求出 ,∵
∴ ,∵ , ,…
,故當 時, ,
因此，對任何常數A，設 是不小于A的最小正整數，
則當 時,必有 .
故不存在常數A使 對所有 的正整數恒成立.
例24.(2008年中學教學參考)設不等式組 表示的平面區域為 ,
設 內整數坐標點的個數為 .設 , 當 時,求證: .
解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因為 ,所以原命題得證
五、迭代放縮
例25. 已知 ,求證:當 時,
解析:通過迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結論
例26. 設 ,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:Sn+k－Sn<1n
解析:


又 所以
六、借助數列遞推關系
例27.求證:
解析: 設 則
,從而
,相加后就可以得到

所以
例28. 求證:
解析: 設 則
,從而
,相加后就可以得到

例29. 若 ,求證:
解析:
所以就有
七、分類討論
例30.已知數列 的前 項和 滿足 證明：對任意的整數 ，有
解析:容易得到 ,
由于通項中含有 ，很難直接放縮，考慮分項討論：
當 且 為奇數時
（減項放縮），于是
①當 且 為偶數時

②當 且 為奇數時 （添項放縮）由①知 由①②得證。
八、線性規劃型放縮
例31. 設函數 .若對一切 ， ，求 的最大值。
解析:由 知 即
由此再由 的單調性可以知道 的最小值為 ，最大值為
因此對一切 ， 的充要條是， 即 ， 滿足約束條 ，
　　　由線性規劃得， 的最大值為5．
九、均值不等式放縮
例32.設 求證
解析: 此數列的通項為
， ，
即
注：①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ，若放成 則得 ，就放過“度”了！
②根據所證不等式的結構特征選取所需要的重要不等式，這里

其中， 等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函數 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值為 ，求證：
解析:

例34.已知 為正數，且 ，試證：對每一個 ， .
解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，
令 ，則 = ，因為 ，倒序相加得 = ，
而 ，
則 = ，所以 ，即對每一個 ， .
例35.求證
解析: 不等式左 = ，
原結論成立.
例36.已知 ,求證:
解析:
經過倒序相乘,就可以得到
例37.已知 ,求證:
解析:
其中: ,因為
所以
從而 ,所以 .
例38.若 ,求證: .
解析:
因為當 時, ,所以 ,所以 ,當且僅當 時取到等號.
所以
所以 所以
例39.已知 ,求證: .
解析: .
例40.已知函數f(x)=x2－(－1)k•2lnx(k∈N*).k是奇數, n∈N*時,
求證: [f’(x)]n－2n－1•f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得 ，
(1)當n=1時，左式= 右式=0.∴不等式成立.
(2) , 左式=

令
由倒序相加法得：

，
所以
所以 綜上，當k是奇數， 時，命題成立
例41. （2007年東北三校）已知函數
（1）求函數 的最小值，并求最小值小于0時的 取值范圍；
（2）令 求證：

★例42. (2008年江西高考試題)已知函數 , .對任意正數 ,證明： ．
解析:對任意給定的 , ,由 ,
若令 ，則 ① ,而 ②
（一）、先證 ；因為 ， ， ，
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再證 ；由①、②式中關于 的對稱性，不妨設 ．則
（?）、當 ，則 ，所以 ，因為 ，
，此時 ．
（?）、當 ③，由①得 , ， ，
因為 所以 ④
同理得 ⑤ ，于是 ⑥
今證明 ⑦, 因為 ，
只要證 ，即 ，也即 ，據③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對任何正數 ，皆有 ．
例43.求證:
解析:一方面:
(法二)

另一方面:
十、二項放縮
, ,

例44. 已知 證明
解析:
，
即
45.設 ，求證：數列 單調遞增且
解析: 引入一個結論：若 則 （證略）
整理上式得 （ ）
以 代入（ ）式得
即 單調遞增。
以 代入（ ）式得
此式對一切正整數 都成立，即對一切偶數有 ，又因為數列 單調遞增，所以對一切正整數 有 。
注：①上述不等式可加強為 簡證如下：
利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有 對通項作如下放縮：

故有
②上述數列 的極限存在，為無理數 ；同時是下述試題的背景：已知 是正整數，且 （1）證明 ；（2）證明 （01年全國卷理科第20題）
簡析 對第（2）問：用 代替 得數列 是遞減數列；借鑒此結論可有如下簡捷證法：數列 遞減，且 故 即 。
當然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數性質、貝努力不等式、甚至構造“分房問題”概率模型、構造函數等都可以給出非常漂亮的解決！詳見[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：
解析: 因為a+b=1,a>0,b>0,可認為 成等差數列，設 ，
從而
例47.設 ，求證 .
解析: 觀察 的結構，注意到 ，展開得
，即 ，得證.
例48.求證: . 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)
例42.(2008年北京海淀5月練習) 已知函數 ，滿足：
①對任意 ，都有 ；
②對任意 都有 .
（I）試證明： 為 上的單調增函數；
（II）求 ；
（III）令 ，試證明：.
解析:本題的亮點很多,是一道考查能力的好題.
(1)運用抽象函數的性質判斷單調性:
因為 ,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨設 ,所以,可以得到 ,也就是說 為 上的單調增函數.
(2)此問的難度較大,要完全解決出需要一定的能力!
首先我們發現條不是很足,,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結論,一發現就有思路了!
由(1)可知 ,令 ,則可以得到
,又 ,所以由不等式可以得到 ,又
,所以可以得到 ①
接下要運用迭代的思想:
因為 ,所以 , , ②
, , ,
在此比較有技巧的方法就是:
,所以可以判斷 ③
當然,在這里可能不容易一下子發現這個結論,所以還可以列項的方法,把所有項數盡可能地列出,然后就可以得到結論.
所以,綜合①②③有 =
(3)在解決 的通項公式時也會遇到困難.
,所以數列 的方程為 ,從而 ,
一方面 ,另一方面
所以 ,所以,綜上有
.
例49. 已知函數fx的定義域為[0,1]，且滿足下列條：
① 對于任意 [0,1]，總有 ，且 ；② 若 則有
（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求證：fx≤4；
（Ⅲ）當 時，試證明： .
解析: （Ⅰ）解：令 ，由①對于任意 [0,1]，總有 ， ∴
又由②得 即 ∴
（Ⅱ）解：任取 且設 則
因為 ，所以 ，即 ∴ .
∴當 [0,1]時， .
（Ⅲ）證明：先用數學歸納法證明：
（1）當n=1時， ，不等式成立；
（2）假設當n=k時，
由
得
即當n=k+1時，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式 對一切正整數都成立.
于是，當 時， ，
而 [0,1]， 單調遞增 ∴ 所以，
例50. 已知： 求證：
解析:構造對偶式：令

則 ＝
又 （

十一、積分放縮
利用定積分的保號性比大小
保號性是指，定義在 上的可積函數 ，則 .
例51.求證： .
解析: ，∵ ，
時， ， ， ∴ ， .
利用定積分估計和式的上下界
定積分產生和應用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積，現在用它估計小矩形的面積和.
例52. 求證： ， .
解析: 考慮函數 在區間 上的定積分.
如圖，顯然 -①
對 求和，
.
例53. 已知 .求證： .
解析:考慮函數 在區間 上的定積分.
∵ -②
∴ .
例54. （2003年全國高考江蘇卷）設 ，如圖，已知直線 及曲線 ： ， 上的點 的橫坐標為 （ ）.從 上的點 作直線平行于 軸，交直線 于點 ，再從點 作直線平行于 軸，交曲線 于點 . 的橫坐標構成數列 .
（Ⅰ）試求 與 的關系，并求 的通項公式；
（Ⅱ）當 時，證明 ；
（Ⅲ）當 時，證明 .
解析: （過程略）.
證明（II）：由 知 ，∵ ，∴ .
∵當 時， ，
∴ .
證明（Ⅲ）：由 知 .
∴ 恰表示陰影部分面積，
顯然 ④
∴ .
奇巧積累: 將定積分構建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：
① ；
② ；
③ ；
④ .
十二、部分放縮(尾式放縮)
例55.求證:
解析:
例56. 設 求證：
解析:
又 （只將其中一個 變成 ，進行部分放縮）， ，
于是
例57.設數列 滿足 ，當 時
證明對所有 有 ；
解析: 用數學歸納法：當 時顯然成立，假設當 時成立即 ，則當 時
，成立。
利用上述部分放縮的結論 放縮通項，可得

注：上述證明 用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮： ；證明 就直接使用了部分放縮的結論
十三、三角不等式的放縮
例58.求證: .
解析:(i)當 時,
(ii)當 時,構造單位圓,如圖所示:
因為三角形AOB的面積小于扇形OAB的面積
所以可以得到
當 時
所以當 時 有
(iii)當 時, ,由(ii)可知:
所以綜上有
十四、使用加強命題法證明不等式
(i)同側加強
對所證不等式的同一方向(可以是左側,也可以是右側)進行加強.如要證明 ,只要證明 ,其中 通過尋找分析,歸納完成.
例59.求證:對一切 ,都有 .
解析:

從而
當然本題還可以使用其他方法,如:

所以 .
(ii)異側加強(數學歸納法)
(iii)雙向加強
有些不等式,往往是某個一般性命題的特殊情況,這時,不妨”返璞歸真”,通過雙向加強還原其本面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為:
欲證明 ,只要證明: .
例60.已知數列 滿足: ,求證:
解析: ,從而 ,所以有
,所以
又 ,所以 ,所以有
所以
所以綜上有
引申:已知數列 滿足: ,求證: .
解析:由上可知 ,又 ,所以
從而
又當 時, ,所以綜上有 .
同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數列 , , , .
記 , .求證:當 時.
(1) ; (2) ; ★(3) .
解析:(1) ,猜想 ,下面用數學歸納法證明:
(i)當 時, ,結論成立;
(ii)假設當 時, ,則 時,
從而 ,所以
所以綜上有 ,故
(2)因為 則 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因為 ,從而 ,有 ,所以有
,從而
,所以
,所以

所以綜上有 .
例61.(2008年陜西省高考試題)已知數列 的首項 , , ．
(1)證明:對任意的 , , ;
(2)證明: .
解析:(1)依題,容易得到 ,要證 , , ,
即證
即證 ,設 所以即證明
從而 ,即 ,這是顯然成立的.
所以綜上有對任意的 , ,
(法二)
, 原不等式成立．
(2)由(1)知，對任意的 ，有

．
取 ，
則 ．
原不等式成立．
十四、經典題目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函數 .若 在區間 上的最小值為 ,
令 .求證: .
證明:首先:可以得到 .先證明
(方法一) 所以
(方法二)因為 ,相乘得:
,從而 .
(方法三)設A= ,B= ,因為A<B,所以A2<AB,
所以 , 從而 .
下面介紹幾種方法證明
(方法一)因為 ,所以 ,所以有

(方法二) ,因為 ,所以
令 ,可以得到 ,所以有

(方法三)設 所以 ,
從而 ,從而
又 ,所以
(方法四)運用數學歸納法證明:
(i)當 時,左邊= ,右邊= 顯然不等式成立;
(ii)假設 時, ,則 時, ,
所以要證明 ,只要證明 ,這是成立的.
這就是說當 時,不等式也成立,所以,綜上有
探究2.(2008年全國二卷)設函數 .如果對任何 ，都有 ，求 的取值范圍．
解析:因為 ,所以
設 ,則 ,
因為 ,所以
(i)當 時, 恒成立,即 ,所以當 時, 恒成立.
(ii)當 時, ,因此當 時,不符合題意.
(iii)當 時,令 ，則 故當 時, .
因此 在 上單調增加.故當 時, ,
即 .于是，當 時，
所以綜上有 的取值范圍是
變式：若 ,其中
且 , ,求證:
.
證明：容易得到
由上面那個題目知道
就可以知道
★同型衍變:(2006年全國一卷)已知函數 .若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.
解析:函數f (x)的定義域為(-∞, 1)∪(1, +∞), 導數為 .
(?) 當0< a≤2時, f (x) 在區間 (-∞, 1) 為增函數, 故對于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時a滿足要求.
(?) 當a>2時, f (x) 在區間 (- , )為減函數, 故在區間(0, ) 內任取一點, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而這時a不滿足要求.
(?) 當a≤0時, 對于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 這時a滿足要求.
綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.

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