導數的概念及運算
一．復習目標：
理解導數的概念和導數的幾何意義，會求簡單的函數的導數和曲線在一點處的切線方程．
二．知識要點：
1．導數的概念： ；
．
2．求導數的步驟是
．
3．導數的幾何意義是 ．
三．前預習：
1．函數 的導數是 （ ）

2．已知函數 的解析式可 （ ）

3．曲線 上兩點 ，若曲線上一點 處的切線恰好平行于弦 ，則點 的坐標為 （ ）

4．若函數 的圖象的頂點在第四象限，則函數 的圖象是（ ）

5．已知曲線 在 處的切線的傾斜角為 ，則 ， ．
6．曲線 與 在交點處的切線的夾角是 ．
四．例題分析：
例1．（1）設函數 ，求 ；
（2）設函數 ，若 ，求 的值．
（3）設函數 ，求 ．
解：（1） ，∴
（2）∵ ，∴
由 得： ，解得： 或
（3）

例2．物體在地球上作自由落體運動時，下落距離 其中 為經歷的時間， ，若 ，則下列說法正確的是（ ）
（A）0～1s時間段內的速率為
（B）在1～1+△ts時間段內的速率為
（C）在1s末的速率為
（D）若△t＞0，則 是1～1+△ts時段的速率；
若△t＜0，則 是1+△ts～1時段的速率．
小結：本例旨在強化對導數意義的理解， 中的△t可正可負
例3．（1）曲線 ： 在 點處的切線為 在 點處的切線為 ，求曲線 的方程；
（2）求曲線 的過點 的切線方程．
解：（1）已知兩點均在曲線C上. ∴
∵
∴ ， 可求出
∴曲線 ：
（2）設切點為 ，則斜率 ，過切點的切線方程為：
，∵過點 ，∴
解得： 或 ，當 時，切點為 ，切線方程為：
當 時，切點為 ，切線方程為：
例4．設函數 (1)證明：當 且 時， ；
(2)點 （0<x0<1）在曲線 上，求曲線上在點 處的切線與 軸， 軸正向所圍成的三角形面積的表達式．（用 表示）
解：（1）∵ ，∴ ，兩邊平方得：
即： ，∵ ，∴ ，∴
∴
（2）當 時， ，
曲線 在點 處的切線方程為： ，即：
∴切線與與 軸， 軸正向的交點為
∴所求三角形的面積為
例5．求函數 圖象上的點到直線 的距離的最小值及相應點的坐標.
解：首先由 得 知，兩曲線無交點.
，要與已知直線平行，須 ，
故切點：（0 , －2）. .

五．后作業： 班級 學號 姓名
1．曲線 在點 處的切線方程為（）

2．已知質點運動的方程為 ，則該質點在 時的瞬時速度為 （ ）
120 80 50
3．設點 是曲線 上的任意一點，點 處切線的傾斜角為 ，則角 的取值范圍是 （ ）

4．若 ，則
5．設函數 的導數為 ，且 ，則
已知曲線
（1）求曲線 在點 處的切線方程；（2）求過點 并與曲線 相切的直線方程．

7.設曲線 ： ， 在哪一點處的切線斜率最小？設此點為
求證：曲線 關于 點中心對稱.

8.已知函數 . 若 ，且 ， ，求 ．

9..曲線 上有一點 ，它的坐標均為整數，且過 點的切線斜率為正數，求此點坐標及相應的切線方程.

10.已知函數 的圖像過點 .過 點的切線與圖象僅 點一個公共點，又知切線斜率的最小值為2，求 的解析式.

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