教案22 二次函數
一、前檢測
1.二次函數 的單調遞增區間是 . 答案：

2.函數 滿足 ，則 的值為（ B ）
A. 5B. 6 C.8 D.與 的值有關

3.若二次函數 在 上是增函數，則m的取值范圍是___________.答案：

二、知識梳理
1．二次函數有以下三種解析式：
一般式：__________________________________；頂點式：___________________________________；
零點式：________________________其中 是方程 的根
解讀：

2．研究二次函數的圖像要抓住開口方向、頂點坐標，討論二次函數的單調性和最值除抓住開口方向、頂點坐標外，還要抓住對稱軸與所給區間的相對位置。
解讀：

3．二次函數與一元一次方程、一元二次不等式之間的內在聯系及相應轉化
① 的圖像與x軸交點的橫坐標是方程f(x)=0的實根；
②當_______時，f(x)>0恒成立，當_______時，f(x) 0恒成立。結論成立的條是 。
解讀：

4．利用二次函數的圖像和性質，討論一元二次方程實根的分布：
設 是方程 的兩個實根，寫出下列各情況的充要條
①當 時， ；②當在 有且只有一個實根時，
③當在 內有兩個不相等的實根時，
④當兩根分別在 , 且 時，
解讀：

三、典型例題分析
例1 求下列二次函數的解析式
(1) 對任意x滿足 ，最小值為 ，與y軸交點坐標為 ；
(2)已知二次函數 滿足 且對任意x均滿足 .
答案：（1） （頂點式）（2） （待定系數法）

變式訓練：（05全國卷Ⅰ）已知二次函數 的二次項系數為 ，且不等式 的解集為 。（Ⅰ）若方程 有兩個相等的根，求 的解析式；
（Ⅱ）若 的最大值為正數，求 的取值范圍。
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因為方程②有兩個相等的根，所以 ，
即
由于 代入①得 的解析式

（Ⅱ）由
及
由 解得
故當 的最大值為正數時，實數a的取值范圍是
小結與拓展：二次函數解析式的三種形式要靈活運用。

例2 已知
（1）若 ，且 在R上恒成立，求 的取值范圍； 答案： ；

（2）若不等式 的解集為 ，求 的值； 答案： ；

（3）若方程 的兩根滿足 ，且 時，求 的取值范圍；答案：

變式訓練：已知關于 的方程 有實根 .
(1)當 時，求實數 的取值范圍； 答案：

(2)當 時，求實數 的取值范圍. 答案：

小結與拓展：本題涉及三個 “二次”，即二次函數、二次不等式、二次方程，但如抓住二次函數的圖像與x軸的位置關系，即可解決問題。

例3 函數 在區間 上的最小值記為 .
(1)求 的解析式； 答案：

(2)求 的最大值. 答案： 的最大值為1.

變式訓練：設函數 ，要使 恒成立，求 的取值范圍。 答案：

小結與拓展：注意對二次函數的對稱軸和區間的位置關系的討論。

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：

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