第二講 函數、基本初等函數的圖象與性質
【最新考綱透析】
1．函數
（1）了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念。
（2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數。
（3）了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
（4）理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義。
（5）會運用函數圖象理解和研究函數的性質。
2．指數函數
（1）了解指數函數模型的實際背景。
（2）理解有理指數冪的含義，了解褸指數冪的意義，掌握冪的運算。
（3）理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點。
（4）知道指數函數是一類重要的函數模型。
3．對數函數
（1）理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用。
（2）理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點。
（3）知道對數函數是一類重要的函數模型。
（4）了解指數函數 與對數函數 互為反函數（ ）。
4．冪函數
（1）了解冪函數的概念
（2）結合函數 的圖象了解它們的變化情況。
【核心要點突破】
要點考向一：基本初等函 數問題
考情聚焦：1．一元二次函數、指數函數、對數函數和冪函數是最重要的基本初等函數，在每年高考中都有涉及到直接考查它們定義、定義域和值域、圖象和性質的問題。
2．常與函數的性質、方程、不等式綜合命題，多以選擇、填空題的形式出現，屬容易題。
考向鏈接：1．一元二次、二次函數及指數\對數函數和冪函數的定義、定義域、值域、圖象和性質是解決此類題目的關鍵，同時要注意數形結合、化歸和分類討論思想的應用 。
2.熟記冪和對數的運算性質并能靈活運用。
例1：（2010?全國高考卷Ⅱ文科?Ｔ4）函數y=1+ln（x-1）(x>1)的反函數是
（A） y= -1(x>0) (B) ）y= +1(x>0)
(C) y= -1(x R) (D）y= +1 (x R)
【命題立意】本題考查了反函數的概念及其求法。
【思路點撥】運用求反函數的方法解。
【規范解答】 選D，y=1+ln（x-1），ln（x-1）=y-1,x-1=e ,所以反函數為y= +1 (x R)
【方法技巧】求反函數的步驟：（1）反 解x,即用y表示x.
(2)把x、y互換，
（3）寫出反函數的定義域，即原函數的值域。本題注意指數式與對數式的互化。
例2：（2010?天津高考文科?Ｔ6）設 （ ）
(A)a
【思路點撥】根據對數的性質及對數函數 的圖像，可得 ，
。
【規范解答】選D，由對數函數 的圖像，可得 ，
，又 。
【方法技巧】比較對數函數值的大小問題，要特別注意分清底數是否相同，如果底數相同，直接利用函數的單調性即可比較大�。蝗绻讛挡煌�，不僅要利用函數的單調性，還要借助中間量比較大小。
要點考向二：函數與映射概念的應用問題
考情聚焦：1.該考向在高考中主要考查與函數、映射概念相關的定義域、映射個數、函數值、解析式的確定與應用。
2.常結合方程、不等式及函數的有關性質交匯命題，屬低、中檔題。
考向鏈接：1.求函數定義域的類型和相應方法。
2.求f(g(x))類型的函數值時，應遵循先內后外的原則，面對于分段函數的求值問題，必須依據條件準確地找出利用哪一段求解，特別地對具有周期性的函數求值要用好其周期性。
3.求函數的解析式，常見命題規律是：先給出一定的條件確定函數的解析式，再研究函數的有關性質；解答的常用方法有待定系數法、定義法、換元法、解方程組法、消元法等。
4.映射個數的計算一般要分類計數。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ8）若函數f(x)= ,若f(a)>f(-a),則實數a的取值范圍是 ( )
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【命題立意】考查對數函數的圖像和性質。
【思路點撥】對a進行討論，通過圖像分析f(a)>f(-a)對應的實數a的范圍。
【規范解答】選C，當a>0，即-a<0時，由f(a)>f(-a)知 ，在同一個坐標系中畫出 和 函數的圖像，由圖像可得a>1；當a<0,即-a>0時，同理可得-1
考情聚焦：1.函數圖象作為高中數學的一個“重頭戲”，是研究函數性質、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的一個熱點。
2.常以幾類初等函數的圖象為基礎，結合函數的性質綜合考查，多以選擇、填空題的形式出現。
考向鏈接：1.基本初等函數的圖象和性質，函數圖象的畫法以及圖象的三種變換。
2.在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系、結合圖象研究。
3.在研究一些陌生的方程和不等式時常用數形結合法求解。
例4：（2010?山東高考理科?Ｔ11）函數 的圖象大致是（ ）
【命題立意】本題考查函數的圖象，函數的基礎知識以及數形結合的思維能力,
考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力。
【思路點撥】利用特殊值對圖象進行估計分析.
【規范解答】選A，因為當x＝2或4時， ，所以排除B、C；當x＝-2時，2x - ＝ ，故排除D，所以選A.
要點考向四：函數性質問題
考情聚焦：該考向是各省市高考命題大做文章的一個重點。常與多個知識點交匯命題，且�？汲Ｐ拢扔行☆}，也有大題，主要從以下三個方面考查：
1.單調性（區間）問題，熱點有：（1）確定函數單調性（區間）；（2）應用函數單 調性求函數值域（最值）、比較大小、求參數的取值范圍、解（或證明）不等式。
2.奇偶性、周期性、對稱性的確定與應用。
3.最值（值域）問題，考題常與函數的其他性質、圖象、導數、基本不等式等綜合。
例5：（2010遼寧文數）（21）（本小題滿分12分）
已知函數 .
（Ⅰ）討論函數 的單調性；
（Ⅱ）設 ，證明：對任意 ， .
解：(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+ )， .
當a≥0時， ＞0，故f(x)在(0,+ )單調增加；
當a≤－1時， ＜0, 故f(x)在(0,+ )單調減少；
當－1＜a＜0時，令 ＝0,解得x= .當x∈(0, )時, ＞0；
x∈( ，+ )時， ＜0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（ ，+ ）單調減少.
(Ⅱ)不妨假設x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）單調減少.
所以 等價于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,則
+4
＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
從而g(x)在（0，+ ）單調減少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+ ) ， .
【高考真題探究】
1. （2010?上海高考理科?Ｔ8）對任意不等于1的正數a，函數f(x)= 的反函數的圖像都經過點P，則點P的坐標是
【命題立意】本題考查對數函數的性質及反函數的有關性質．
【思路點撥】根據對數函數的性質找到原函數過的定點，再由反函數的性質找到關于直線y=x的對稱點．
【規范解答】 ．因為函數 的圖像過定點 ，由反函數的性質可知，反函數的圖像過定點 ．
2. （2010?全國Ⅰ理科?Ｔ8）設 ， ， ,則（ ）
A a
【思路點撥】利用換底公式，將 ， 變成以2為底的對數.根據對數函數
和指數函數的圖像進行分析.
【規范解答】選C.
a= 2= , b=In2= ,而 ,所以a
A．關于原點對稱 B．關于直線y=x對稱
C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱
【命題立意】本小題考查函數的對稱性，考查奇函數、偶函數的概念，考查運算求解的能力，考查數形結合的思想方法.
【思路點撥】根據選項，可以判斷函數 是否為奇函數、偶函數，即判斷 與 的關系；如果不是，再判斷選項B，C是否正確.
【規范解答】選D
【解法1】
，是偶函數，圖象關于y軸對稱；
【解法2】
，有 ，所以函數 的圖象關于 軸對稱.
【方法技巧】（1）指數運算 在變形整理中起其重要作用；
（2）分式加法的逆向運算是本題的變形技巧.
4. （2010?北京高考文科?Ｔ6）給定函數① ，② ，③ ，④ ，其中在區間（0，1）上單調遞減的函數序號是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
【命題立意】考查幾類基本初等函數的單調性及簡單的圖像變換。
【思路點撥】畫出各函數的圖象，再判斷在（0，1）上的單調性。
【規范解答】選B。各函數在（0，1）上的單調性：①增函數；②減函數；③減函數；④增函數。
5. 10.（2010?浙江高考理科?Ｔ10）
設函數的集合 ，平面上點的集合 ，則在同一直角坐標系中， 中函數 的圖象恰好經過 中兩個點的函數的個數是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
【命題立意】本題考查對數型函數的圖象，集合元素的表示，考查學生對數運算能力和數形結合的思想。
【思路點撥】把Q中的點表示在坐標 系中，逐個分析P中的每一個函數的圖像，找出恰過兩點的函數。
【規范解答】選B。
Q中有12個點，表示在坐標系中；P中共有12個函數，逐個分析P中的每一個函數的圖像，可知恰過兩個點的函數有 ， ，
， ， 共6個。
6. （2010?江蘇高考?Ｔ11）已知函數 ,則滿足不等式 的x的取值范圍是__ ___。
【命題立意】本題考查分段函數的圖像、單調性以及數形結合和化歸轉化的思想。
【思路點撥】結合函數 的圖像以及 的條件，可以得出 與 之間的大小關系，進而求解x的取值范圍.
【規范解答】畫出 ,的圖象，
由圖像可知，若 ，
則 ，即 ，得
【答案】
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1．設函數f（x）=log2x的反函數為y=g（x） ，若 ，則a等于（ ）
A．-2 B． C． D．2
2.已知一容器中有A、B兩種菌，且在任何時刻A，B兩種菌的個數乘積為定值1010，為了簡單起見，科學家用 來記錄A菌個數的資料，其中 為A菌的個數，則下列判斷中正確的個數為 （ ）
①
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個數比昨天的A菌個數多了10個
③假設科學家將B菌的個數控制為5萬個，則此時
A．0B．1C．2D．3
3.函數 與 在同一坐標系的圖象為（ ）
4.類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數， ， ，其中 ，且 ，下面正確的運算公式是（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）①②③④
5.下列函數 中，滿足“對任意 ， （0， ），當 < 時，都有 > 的是( )
A． = B. = C . = D
6. f(x)= ，則 ＝（ ）
（A）-23（B）11（C）19 （D）24
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7．已知函數 ，正實數m，n滿足 ，且 ，若 在區間 上的最大值為2，則 ．
8．已知 ，函數 ，若實數 、 滿足 ，則 、 的大小關系為 .
9．給出下列四個命題：
①函數 在區間 上存在零點
②若 =0，則函數 在 取得極值；
③ ≥-1，則函數 的值域為R；
④“ ”是“函數 在定義域上是奇函數”的充分不必要條件。
其中真命題是 （把你認為正確的命題序號都填在橫線上）
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．據調查，安徽某地區有100萬從事傳統農業的農民，人均年收入3000元.為了增加農民的收入，當地政府積極引資建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作. 據估計，如果有x(x＞0)萬人進入企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均年收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民人均年收入為3000a元（a＞0為常數）.
（I）在建立加工企業后，要使該地區從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的年總收入，求x的取值范圍；
（II）在（I）的條件下，當地政府應安排多少萬農民進入加工企業工作，才能使這100萬農民的人均年收入達到最大？
11．已知函數f(x)=lnx- (a∈R).
(1)當a∈［-e,-1］時，試討論f(x)在［1,e］上的單調性；
(2)若f(x)
（1）已知函數f(x)= 的圖象關于點(0,1)對稱，
求實數m的值；
（2）已知函數g(x)在（-∞，0）∪(0,+∞)上的圖象關于點( 0,1)對稱，且當x∈(0,+∞)時，g(x)=x2+ax+1,求函數g(x)在
(-∞,0)上的解析式；
（3）在(1)(2)的條件下，當t>0時，若對任意實數x∈
(-∞,0)，恒有g(x)
參考答案
1. 【解析】選C 因為函數f（x）=log2x的反函數為 所以 由
得
2. 【解析】選B 當 時 ，故①錯誤；若 若 故②錯誤；
設B菌的個數為
所以 ，故③正確。
3. 【解析】選A 因為 ，所以函數 的圖像在函數 圖像 的下方，排除C、D；
，排除B，故選A。
4. 【解析】選D 因為 ，
同理可證其它3個式子也成立。
5. 【解析】選A依題意可得函數應在 上單調遞減，故由選項可得A正確。
6. 【解析】選D
7. 【解析】由已知得
所以 在區間 上的最大值為 故
答案：
8. 【解析】 ，函數 在R上遞減。由 得：m
所以函數 在區間 上存在零點；②不正確，例
；③正確：
對于④：若 ，則 又 的定義域為R，所以 “函數 在定義域上是奇函數”；若函數 在定義域上是奇函數，則 恒成立。因為 ，
所以 恒成立，
所以 ，故“函數 在定義域上是奇函數” 推不出“ ”，
所以④正確。綜上正確的為①③④。
答案：①③④
10. 【解】（I）據題意，（100－x）?3000?（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.
又x＞0，故x的取值范圍是(0，50].
（II）設這100萬農民的人均年收入為y元，則
y＝
＝－35[x－25(a＋1)]2＋3000＋475(a＋1)2 (0
（2）若25(a＋1)＞50，即a ＞1，則當x＝50時，y取最大值.
答：當0＜a≤1時，安排25(a＋1)萬人進入加工企業工作，當a＞1時，安排50萬人進入企業工作，才能使這100萬人的人均年收入最大.
11. 【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，
當-e≤a≤-1時，1≤-a≤e,令f′(x)=0得x=-a,于是當1≤x≤-a時，f′(x)≤0,∴f(x)在［1,-a］上為減函數,
當-a≤x≤e時，f′(x)≥0,
∴f(x)在［-a,e］上為增函數.
綜上可知，當-e≤a≤-1時f(x)在［1,-a］上為減函數，在［-a,e］上為增函數.
(2)由f(x)
令g(x)=xlnx-x2,
要使a>xlnx-x2在［1,+∞)上恒成立，
只需a>g(x)max,
g′(x)=lnx-2x+1,
令φ(x)=lnx-2x+1,
則φ′(x)= -2,
∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上單調遞減，∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此g′(x)<0,故g(x)在［1,+∞)上單調遞減，則g(x)≤g(1)=-1,
∴a的取值范圍是(-1,+∞).
12. 【解析】（1）由題設可得f(x)+f(-x)=2,即 + =2，解得 .
(2)當x<0時，-x>0且g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x2+ax+1.
(3)由（1）得f(t)=t+ +1(t>0),其最小值為f(1)=3.
g(x)= -x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+ ,
①當
②當
【備課資源】
1.已知函數 ，若 ，則實數 = （ ）
（A）-1 （B） （C）-1或 （D）1或
2. f(x)= 則f(f(2))的值為( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
3. 設a=π 0.3,b=logπ3,c=30,則a,b,c的大小關系是( )
(A)a>b>c(B)b>c>a
(C)b>a>c(D)a>c>b
4. 已知函數y=f(x)與y=ex互為反函數，函數y=g(x)的圖象與y=f(x)的圖象關于x軸對稱，若g(a)=1,則實數a的值為( )
5.已知f(x)是定義在R上的奇函數，若f(x)的最小正周期為3，f(1)>0，f(2)= ，則m的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.如圖是函數 的圖象，則 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.函數y=f(x)的圖象如圖所示，則函數 的圖象大致是（ ）
8. 若定義在R上的函數g(x)滿足：對任意x1,x2有g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,則下列說法一定正確的是( )
(A)g(x)為奇函數
(B)g(x)為偶函數
(C)g(x)+1為奇函數
(D)g(x)+1為偶函數
9.設 為奇函數, 為常數.
(1)求 的值得;
(2)證明f(x)在區間(1,+ )內單調遞增;
(3)若對于區間[3,4]上的每一個x的值,不等式 恒成立,求實數 的取值范圍.
參考答案
1. 【解析】選C。當 >0時， ，解得 ；當 ≤0時， ，解得 =-1
2. 【解析】選C.∵f(2)=log3(22-1)=1,
∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
3. 【解析】選D.∵a=π0.3>π0=1,0
4. 【解析】選C.由已知得f(x)=lnx,又y=g(x)與y= f(x)的圖象關于x軸對稱，∴g(x)=-f(x)=-lnx,又g(a)=1,∴-lna=1,∴a= .
5. 【解析】選C由已知f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1).又f(1)>0, ∴ <0 .解得 。
6. 【解析】選C.將分數指數化為根式， ，由定義域為R，值域為［0，+∞）知n為奇數，m為偶數，又由冪函數y=xα,當α>1時，圖象在第一象限的部分下凸，當0<α<1時，圖象在第一象限的部分上凸，故選C.或由圖象知函數為偶函數，∴m為
偶數，n為奇數.又在第一象限內上凸,∴ <1.
7. 【解析】選C.由f(x)圖象知f(x)≥1, ∴ ≤0,結合圖象知先C.
8. 【解析】選C.由已知：令x1=x2=0得,g(0)=2g(0)+1,
∴g(0)=-1,
令x1=x,x2=-x,則有g(0)=g(-x)+g(x)+1,
∴有g(x)+1=-［g(-x)+1］,
故g(x)+1為奇函數.
9. 【解析】(1)由已知f(x)+f(-x)=0即
(2)由(1)得
(3)原不等式可化為
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