第四講 轉化與化歸思想
【思想方法詮釋】
數學問題的解答離不開轉化與化歸，它既是一種數學思想，又是一種數學能力，是高考重點考查的最重要的思想方法．在高中數學的學習中，它無個不在，比如：處理立體幾何問題時，將空間問題轉化到一個平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標系將幾何問題化歸為代數問題；復數問題化歸為實數問題等．
1．轉化與化歸的原則
（1）目標簡單化原則：將復雜的問題向簡單的問題轉化．
（2）和諧統一性原則：即化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形關系上趨于統一的方向進行，使問題的條件和結論更均勻和恰當．
（3）具體化原則：即化歸言論自由應由抽象到具體．
（4）低層次原則：即將高維空間問題化歸成低維空間問題．
（5）正難則反原則：即當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解．
2．轉化與化歸常用到的方法
（1）直接轉化法：把問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題．
（2）換元法：運用“換元”把超越式轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題．
（3）數形結合法：研究原問題中數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑．
（4）構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易于解決的問題．
（5）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題，是轉化方法的一個重要途徑．
（6）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化途徑．
（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題．
（8）等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目的．
（9）加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結論加強，即命題的結論加強為原命題的充分條件，反而能將原命題轉化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時：原命題往往難以得證，這時常把結論加強，使之成為原命題的充分條件，從而易證．
（10）補集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集 使原問題得以解決．
【核心要點突破】
要點考向1：函數、方程、不等式之間的轉化
例1：已知函數f(x)=x2+2x+alnx．或函數f(x)在區間(0，1]上為單調增函數，求實數a的取值范圍．
思路精析：單調增函數→不等式恒成立→分離參數→求函數最值→實數a的范圍
解析： ∵f(x)在區間(0，1]上為單調增函數．∴f’(x)≥0在(0，1]上恒成立．
亦即：a≥-(2x2+2x) 在(0，1]上恒成立，
又 在(0，1]上為單調遞減，
∴當a≥0時，f(x)在區間(0，1]上為單調增函數
注：函數與方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程，不等式的幫助，因此借助于函數與方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍．
要點考向2：正面與反面的轉化
例2：有9張卡片分別寫著數字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片（不放回），試求：
（1）甲抽到寫有奇數數字卡片，且乙抽到寫有偶數數字卡片的概率．
（2）甲、乙二人至少抽到一張奇數數字卡片的概率．
思路精析：（1）甲、乙二人依次各抽一張的可能結果→甲抽到含奇數，乙抽到含偶數數字卡片的結果→求概率．
（2）找對立事件→求對立事件概率→求出原事件概率．
解答：（1）甲、乙二人依次從九張卡片中各抽取一張的可能結果有 ，甲抽到寫有奇數數字卡片，且乙抽到寫有偶數數字卡片的結果有 種，設甲抽到寫有奇數數字卡片，且乙抽到寫有偶數數字卡片的概率為P1，則
（2）設甲、乙二人至少抽到一張奇數數字的概率為P2，甲、乙二人至少抽到一張奇數數字卡片的對立事件為兩人均抽到寫有偶數數字卡片．設為 ，
則
注：一般地，一個題目若出現多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，宜從反而考慮，多使用于“至多”“至少”這種情形．
要點考向3：命題的等價轉化
例3：已知f(x)為定義在實數R上的奇函數，且f(x)在[0,+∞)上是增函數．當 時，是否存在這樣的實數m，使 對所有的 均成立？若存在，求出所有適合條件的實數m；若不存在，請說明理由．
思路精析：由奇偶性及單調性→f(x)單調性→關于 的不等式→一元二次不等式恒成立→函數最值→m的范圍．
解析：由f(x)是R上的奇函數可得f(0)=0．又在[0,+∞)上是增函數，故f(x)在R上為增函數．由題設條件可得 又由f(x)為奇函數，
可得 ∵f(x)在R上為增函數，∴ 即
．令 于是問題轉化為對一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立．
又
∴存在實數m滿足題設的條件，
注：根據問題的特點轉化命題，使原問題轉化為與之相關，易于解決的新問題，是我們解決數學問題的常用思路，常見的有：
（1）在三角函數中，涉及到三角式的變形，一般通過轉化與化歸將復雜的三角問題轉化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（順用、逆用、變形用）、角度的轉化、函數的轉化等．
（2）換元法：是將一個復雜的或陌生的函數、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數、方程、不等式的一種重要方法．
（3）在解決平面向量與三角函數、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數，平面幾何、解析幾何語言進行轉化．
（4）在解決數列問題時，常將一般數列轉化為等差數列或等比數列求解．
（5）在利用導數研究函數問題時，常將函數的單調性、極值（最值）、切線問題，轉化為其導函數f’(x)構成的方程、不等問題求解．
（6）在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數與形之間進行轉化．
（7）實際問題與數學模型之間的轉化．
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．若復數 是純虛數（ 是虛數單位， 是實數），則 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知 是定義在 上的增函數，函數 的圖像關于點 對稱，若 滿足 ，則當 時， 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 分別是雙曲線 的左、右焦點，過 作垂直于 軸的直線交雙曲線于 、 兩點，若 為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
4．將一個正方體截去四個角得到一個四面體BDA1C1，這個四面體的體積是正方體體積的 （ ）
5.對于拋物線y2=4x上任意一點Q，如果點P（a，0）滿足PQ≥a,則a的取值范圍是（ ）
(A)（-∞,0) (B)(-∞,2］
(C)［0,2］ (D)(0,2)
6．設 分別為具有公共焦點 的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足 的值為（ ）
A．2B． C．4D．
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． ，當A∩B有且只有一個元素時，a、b滿足的關系式是
8. 當x∈(1,2)時，不等式x2+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是_______.
9.如圖,三棱錐P—ABC中,各條棱的長都是2,E是側棱PC的中點,D是側棱PB上任一點,則△ADE的最小周長為_____.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10．已知向量m=(1,1)，向量 與向量 夾角為 ，且 ? =-1，
(1)求向量 ；
(2)若向量 與向量 =(1,0)的夾角為 ，向量 =(cosA,2cos2 )，其中A、C為?ABC的內角，且A、B、C依次成等差數列，試求? + ?的取值范圍。
11．已知可行域 的外接圓C與 軸交于點A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率
（Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程；
（Ⅱ）過橢圓C1上一點P(不在坐標軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點，直線AB分別與x軸、y軸交于點M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點）．
12．設函數
（Ⅰ）當 曲線 處的切線斜率
（Ⅱ）求函數的單調區間與極值；
（Ⅲ）已知函數 有三個互不相同的零點0， ，且 。若對任意的 ， 恒成立，求m的取值范圍。
參考答案
1．A
2．C
3．A
4．解析：選B．設正方體棱長為a，則
5．
6．A
7．解析：A∩B有且只有一個元素可轉化為直線 與圓 相切，故
8．【解析】不等式x2+mx+4＜0在（1，2）恒成立，
又x∈(1,2)∴g′(x)＞0,
∴g(x)在（1，2）為單調增函數，∴m≤-5.
答案：m≤-5
9．【解析】把空間問題化歸成平面問題,是立體幾何中化歸思想最重要的內容.有這種思想作指導,結合題干圖,由于AE是定長: 故只要把側面PAB、PBC展平,那么當A、D、E三點共線時的AE長,即AD+DE的值最小.
在如圖所示的△AEP中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2?2?1?cos120°=7,所以AE= ,于是得△AED的最小周長為 .
答案：
10．解析：(1)設 =(x,y)
則由< , >= 得：cos< , >= = ①
由 ? =-1得x+y=-1 ②
聯立①②兩式得 或
∴ =(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵< , >=
得 ? =0
若 =(1,0)則 ? =-1?0
故 ?(-1,0) ∴ =(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=?
?B= ∴C=
+ =(cosA,2cos2 )
=(cosA,cosC)
∴? + ?= = =
=
=
∵0
∴-1
11．解析：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以 及點 為頂點的三角形，∵ ，∴ 為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圓C以原點O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為 ．
∵2b=4，∴b=2．又 ，可得 ．
∴所求橢圓C1的方程是 ． ┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）， ，OA的斜率為 ，則PA的斜率為 ，則PA的方程為： 化簡為： ，
同理PB的方程為 ┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同時過P點，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
從而得到 、 所以 ┅┅8分
當且僅當 . ┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用橢圓的參數方程 、函數求最值等方法求 的最大值）
12．解析：當
所以曲線 處的切線斜率為1.
（2） ，令 ，得到
因為
當x變化時， 的變化情況如下表：
極小值
極大值
在 和 內減函數，在 內增函數。
函數 在 處取得極大值 ，且 =
函數 在 處取得極小值 ，且 =
（3）由題設，
所以方程 =0由兩個相異的實根 ，故 ，且 ，解得
因為
若 ，而 ，不合題意
若 則對任意的 有
則 又 ，所以函數 在 的最小值為0，于是對任意的 ， 恒成立的充要條件是 ,解得
綜上，m的取值范圍是
【備課資源】
1．設橢圓 的半徑焦距為c，直線 過(0,a)和(b,0)，已知原點到 的距離等于 ，則橢圓的離心率為 （ ）
解析：選B．由已知得：
2．某小組共10名學生，其中女生3名，現選舉2名代表，至少有1名女生當選的概率為（ ）
解析：選B．利用正難則反轉化：
3．從雙曲線 的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線l,切點為T，且l交雙曲線的右支于點P，若點M是線段FP的中點，O為坐標原點，則OM-TM等于（ ）
4.已知a＞0，f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)，l是曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線.
（1）求l的方程；
（2）若切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點，求a的值；
（3）證明：對于任意的a=n(n∈N*),函數y=f(x)總有單調遞減區間，并求出f(x)的單調遞減區間的長度的取值范圍.（區間［x1,x2］的長度=x2-x1)
【解析】(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
∴f′(0)=-1,
即切點P(0,1)，l斜率為-1，
∴切線l的方程：y=-x+1.
(2)切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點等價于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1，
即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數解.
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),
則方程h(x)=0有且只有一個實數解.
∵h(0)=0,∴方程h(x)=0有一解x=0.
5.設函數f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)當a=0時，f(x)≥h(x)在（1，+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)當m=2時，若函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；
(3)是否存在實數m,使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/62287.html
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