高考導航
考試要求重難點擊命題展望
排列
、
組合　　1.理解并運用分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；
2.理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；
3.能用計數原理證明二項式定理； 會用 二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.　　本章重點：排列、組合的意義及其計算方法，二項式定理的應用.
本章難點：用二項式定理解決與二項展開式有關的問題.　　排列組合是學習概率的基礎，其核心是兩個基本原理.高考中著重考查兩個基本原理，排列組合的概念及二項式定理.
隨機事件的概率　　1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別；
2.了解兩個互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件同時發生的概率乘法公式；
3.理解古典概型及其概率計算公式；會計算一些隨機事件所包含的基本事件的個數及事件發生的概率；
4.了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率，了解幾何概型的意義.　　本章重點：1.隨機事件、互斥事件及概率的意義，并會計算互斥事件的概率；2.古典概型、幾何概型的概率計算.
本章難點：1.互斥事件的判斷及互斥事件概率加法公式的應用；2.可以轉 化為幾何概型求概率的問題.　　本部分要求考生能從集合的思想觀點認識事件、互斥事件與對立事件，進而理解概率的性質、公式，還要求考生了解幾何概型與隨機數的意義.在高考中注重考查基礎知識和基本方法的同時，還�？疾榉诸惻c整合，或然與必然的數學思想方法，邏輯思維能力以及運用概率知識解決實際問題的能力.
離散型隨機變量　　1.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性；
2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用；
3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題；
4.理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題；
5.利用實際問題的直方圖，認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.本章重點：1.離散型隨機變量及其分布列； 2.獨立重復試驗的模型及二項分布.
本章難點：1.利用離散型隨機變量的均值、方差解決一些實際問題；2.正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.　　求隨機變量的分布列與期望，以及在此基礎上進行統計分析是近幾年來較穩定的高考命題態勢.考生應注重對特殊分布(如二項分布、超幾何分布)的理解和對事件的意義的理解.

知識網絡

12.1　分類加法計數原理與分步乘法計數原理

典例精析
題型一　分類加法計數原理的應用
【例1】 在1到20這20個整數中，任取兩個數相加，使其和大于20，共有　　種取法.
【解析】當一個加數是1時，另一個加數只能是20，有1種取法；
當一個加數是2時，另一個加數可以是19,20，有2種取法；
當一個加數是3時，另一個加數可以是18,19,20，有3種取法；
……
當一個加數是10時，另一個加數可以是11,12，…，19,20，有10種取法；
當一個加數是11時，另一個加數可以是12,13，…，19,20，有9種取法；
……
當一個加數是19時，另一個加數只能是20，有1種取法.
由分類加法計數原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100種取法.
【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數，再利用“和大于20”確定另一個加數.
【變式訓練1】(2010濟南市模擬)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為(　　)
A.3B.4C.6D.8
【解析】當公比為2時，等比數列可為1,2,4或2,4,8；當公比為3時，等比數列可為1,3,9；當公比為32時，等比數列可為4,6,9.同理，公比為12、13、23時，也有4個.故選D.
題型二　分步乘法計數原理的應用
【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有　　　種.
【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計數原理得不同的選擇方案有4×5×4×3＝240種.
【點撥】根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復也不能遺漏.
【變式訓練2】(2010湘潭市調研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一人值班，問此值班表共有　　種不同的排法.
【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數原理共有5×4×4×4×4＝1 280種方法.
題型三　分類和分步計數原理綜合應用
【例3】(2011長郡中學)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數有　　　　.
【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區域涂相同的顏色，分為4類：1與5同；2與5同；3與5同；1與3同.對于每一類有A44種涂法，共有4A44＝96種方法.
方法二：第一步：涂區域1，有4種方法；第二步：涂區域2，有3種方法；第三步：涂區域4，有2種方法(此前三步已經用去三種顏色)；第四步：涂區域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區域5涂第四種顏色；第二類，區域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區域5就可以涂區域1或區域2或區域3中的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96種.
【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題.本題能運用兩個基本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.
【變式訓練3】(2009深圳市調研)用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？
【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法；
第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；
第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6＝108種涂法.
總結提高
分類加法計數原理和分步乘法計數原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數的問題，其區別在于：分類加法計數原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事；分步乘法計數原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當各個步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個基本計數原理的基礎.

12.2　排列與組合

典例精析
題型一　排列數與組合數的計算
【例1】 計算：(1)8�。獳66A28－A410；(2) C33＋C34＋…＋C310.
【解析】(1)原式＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×(－89)＝－5 130623.
(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330.
【點撥】在使用排列數公式Amn＝n！(n－m)！進行計算時，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤n.另外，應注意組合數的性質的靈活運用.
【變式訓練1】解不等式 ＞6 .
【解析】原不等式即9！(9－x)�。�6×9！(11－x)！，
也就是1(9－x)�。� ，
化簡得x2－21x＋104＞0，
解得x＜8或x＞13，又因為2≤x≤9，且x∈N*，
所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.
題型二　有限制條件的排列問題
【例2】 3男3女共6個同學排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少種排法？
(2)女生與男生相間，有多少種排法？
(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？
(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？
(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？
【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，有A44種排法.又3名女生內部可有A33種排法，所以共有A44?A33＝144種排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33?A33＝72種排法.
(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中3個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A33?A34＝144種.
(4)直接分類較復雜，可用間接法.即從6個人的排列總數中，減去3名男生排在一起的排法種數，得3名男生不排在一起的排法種數為A66－A33A44＝576種.
(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間，有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法.這樣就有A23?A22種排法.然后把他們4人看成一個元素(相當于一個男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22＝24種.
【點撥】排列問題的本質就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題，在分析時，主要按照“優先”原則，即優先安排特殊元素或優先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.
【變式訓練2】把1,2,3,4,5這五個數字組成無重復數字的五位數，并把它們按由小到大的順序排列構成一個數列.
(1)43 251是這個數列的第幾項？
(2)這個數列的第97項是多少？
【解析】(1)不大于43 251的五位數A55－(A44＋A33＋A22)＝88個，即為此數列的第88項.
(2)此數列共有120項，而以5開頭的五位數恰好有A44＝24個，所以以5開頭的五位數中最小的一個就是該數列的第97項，即51 234.
題型三　有限制條件的組合問題
【例3】 要從12人中選出5人去參加一項活動.
(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？
(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？
(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？
(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？
(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？
【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29＝36種不同選法.
(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59＝C49＝126種選法.
(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C13種選法，再從余下的9人中選4人，有C49種選 法，所以共有C13?C49＝378種選法.
(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C59，共有C512－C59＝666種選法.
(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512－C29＝756種選法.
【點撥】遇到至多、至少的有關計數問題，可以用間接法求解.對于有限制條件的問題，一般要根據特殊元素分類.
【變式訓練3】四面體的頂點和各棱中點共有10個點.
(1)在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？
(2)在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法？
【解析】(1)四個點共面的取法可分三類.第一類：在同一個面上取，共有4C46種；第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有6種；第三類：在六條棱的六個中點中取，取兩對對棱的4個中點，共有C23＝3種.故有69種.
(2)用間接法.共C410－69＝141種.
總結提高
解有條件限制的排列與組合問題的思路：
(1)正確選擇原理，確定分類或分步計數；

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