第二講 橢圓、雙曲線、拋物線（含軌跡問題）
【最新考綱透析】
1．圓錐曲線
（1）了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。
（2）掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質。
（3）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質。
（4）了解圓錐曲線的簡單應用。
（5）理解數形結合的思想。
2．曲線與方程
了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系。
【核心要點突破】
要點考向1：圓錐曲線的定義及幾何性質、標準方程
考情聚焦：1．圓錐曲線的定義、幾何性質及標準方程是每年必考內容，雖然大綱降低了對雙曲線的要求，但在選擇題中仍然考查雙曲線。
2．可單獨考查，也可與向量、數列、不等式等其他知識結合起來考查。
3．既可以以小題的形式考查（屬中、低檔題），也可以以解答題形式考查（屬于中、高檔題）。
考向鏈接：1．已知圓錐曲線上一點及焦點，首先要考慮使用圓錐曲線的定義求解。
2．求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數法、軌跡方程法。
3．求橢圓、 雙曲線的離心率，關鍵是根據已知條件確定 的等量關系，然后把b用a、c代換，求 的值。
4．在雙曲線中由于 ，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ19）已知橢圓 經過點 ，對稱軸為坐標軸，焦點 在 軸上，離心率 。
(1)求橢圓 的方程；
(2)求 的角平分線所在直線 的方程；
(3)在橢圓 上是否存在關于直線 對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。
【命題立意】本題主要考查橢圓的定 義及標準方程，橢圓的簡單性質，點關于直線的對稱性等知識，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認知水平，探究意識，創新意識和綜合運算求解能力．
【思路點撥】（1）設出橢圓的標準方程，再根據題設條件構建方程（組）求解；
（2）根據角平分線的性質求出直線 的斜率或直線 上的一個點的坐標，進而求得直線 的方程；
（3）先假設橢圓 上存在關于直線 對稱的相異兩點，在此基礎之上進行推理運算，求解此兩點，根據推理結果做出判斷。
【規范解答】（1）設橢圓 的方程為 （ ），
由題意 ， ，又 ，解得：
橢圓 的方程為
（2）方法1：由（1）問得 ， ，又 ，易得 為直角三角形，其中
設 的角平分線所在直線 與x軸交于點 ，根據角平線定理可知： ，可得 ，
直線 的方程為： ，即 。
方法2：由（1）問得 ， ，又 ，
， ，
，
， 直線 的方程為： ，即 。
（3）假設橢圓 上存在關于直線 對稱的相異兩點 、 ，
令 、 ，且 的中點為
， ，
又 ，兩式相減得:
,即 （3），
又 在直線 上， （4）
由（3）（4）解得： ，
所以點 與點 是同一點，這與假設矛 盾，
故橢圓 上不存在關于直線 對稱的相異兩點。
【方法技巧】
1、求圓錐曲線的方程，通常是利用待定系數法先設出曲線的標準方程，再根據題設條件構建方程（組）求解；.
2、利用向量表示出已知條件，可以將復雜的題設簡單化，便于理解和計算；
3、對于存在性問題，其常規解法是先假設命題存在，再根據題設條件進行的推理運算，若能推得符合題意的結論，則存在性成立，否則，存在性不成立。
要點考向2：最值或定值問題
考情聚焦：1．以圓錐曲線為載體的最值或定值問題在高考題中幾乎每年都涉及。
2．可與函數、不等式等知識交匯，體現知識間的聯系。
3．多以解答題形式出現，屬中高檔題目。
考向鏈接：解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：
（1）利用函數，尤其是二次函數求最值；
（2）利用三角函數，尤其是正、余弦函數的有界性求最值；
（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；
（4）利用數形結合，尤其是切線的性質求最值。
例2：（2010?北京高考文科?Ｔ１9）已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是 ， ，離心率是 ，直線 與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P .
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x,y）是圓P上的動點，當 變化時，求y的最大值.
【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關系，函數的最值。要求學生掌握橢圓標準中 的關系，離心率 .直線與圓相切問題轉化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（Ⅲ）問中 最大值的求法用到了三角代換，體現了數學中的轉化與化歸思想.
【思路點撥】由焦點可求出 ，再利用離心率可求出 。直線與圓的位置關系轉化為圓心到直線的距離.
【規范解答】（Ⅰ）因為 ，且 ，所以
所以橢圓C的方程為 .
（Ⅱ）由題意知
由 得
所以圓P的半徑為 .
由 ，解得 .所以點 P的坐標是（0， ）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程 .因為點 在圓P上。所以由圖可知 。設 ，則
當 ，即 ，且 ， 取最大值2.
【方法技巧】（1）直線與圓的位置關系： 時相離； 時相切； 時相交；
（2）求無理函數的最值時三角代換是一種常用的去根號的技巧.
要點考向3：求參數范圍問題
考情聚焦 ：1．與圓錐曲線有關的求參數范圍問題在高考題中經常出現。
2．多在解答題中出現，屬中高檔題。
例3：（2010?山東高考理科?Ｔ21）如圖，已知橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點 為頂點的三角形的周長為 .一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設 為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線 和 與橢圓的交點分別為 和 .
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線 、 的斜率分別為 、 ，證明 ；
（3）是否存在常數 ，使得 恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.
【命題立意】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線
的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試
題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）
是一個開放性問題，考查了考生的觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】( 1)根據離心率和周長構造含有 的方程組，可求出橢圓的方程，再根據雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點可求雙曲線的方程;（2）設出點P的坐標，再將 用點P的坐標表示，并利用點P在雙曲線上進行化簡；（3）設直線AB的斜率為 ，則由（2）的結果可將直線 CD的斜率用 表示，然后設出直線AB與CD的方程，利用弦長公式將 與 表示出來，最后將 用 表示出來，通過化簡可判斷 是否為常數.
【規范解答】（1）由題意知，橢圓離心率為 ，得 ，又 ，所以可解得 ， ，所以 ，所以橢圓的標準方程為 ；所以橢圓的焦點坐標為（ ，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為 .
（2）設點P（ ， ），則 = ， = ，所以 =
，又點P（ ， ）在雙曲線上，所以有 ，即 ，所以
=1.
（3）假設存在常數 ，使得 恒成立，則由（2）知 ，所以設直線AB的方程為 ，則直線CD的方程為 ，
由方程組 消y得： ，設 ， ，
則由韋達定理得：
所以AB= = ，同理可得
CD= = = ，
又因為 ，所以有 = +
= ，所以存在常數 ，使得 恒成立。
【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問題
1、基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形)是否存在或某一結論和參數無關.
2、基本策略：通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式來證明該式是恒定的.
注：與圓錐曲線的參數問題是高考考查的熱點問題。解決這類問題常用以下方法：
（1）根據題意建立參數的不等關系式，通過解不等式求出范圍；
（2）用其他變量表示該參數，建立函數關系，然后利用求值域的相關方法求解；
（3）建立某變量的一元二次方程，利用判別式求該參數的范圍；
（4）研究該參數所對應幾何意義，利用數形結合法求解。
要點考向4：圓錐曲線綜合問題
考情聚焦：1．圓錐曲線綜合問題，特別是直線與圓錐曲線的關系，圓錐曲線與向量相結合的題目是新課標高考重點考查的內容。
2．呈現方式可以是選擇題、填空題，屬中檔題，也可以是解答題，屬中高檔題。
例4：（2010?江蘇高考?Ｔ１8）在平面直角坐標系 中，如圖，已知橢圓 的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（ ）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M 、 ，其中m>0, 。
（1）設動點P滿足 ,求點P的軌跡；
（2）設 ，求點T的坐標；
（3）設 ,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。
【命題立意】本題主要考查求曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程及其相關的基礎知識�？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。
【思路點撥】（1）設出P點的坐標，然后代入 ，化簡即可；(2) 點T為直線MT和NT的交點；（3）聯立直線MAT、直線NBT和橢圓方程，求出M和N的坐標，從而求出直線MN的方程,進而求證結論.
【規范解答】（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 ，得 化簡得 。
故所求點P的軌跡為直線 。
（2）將 分別代入橢圓方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ）
直線MTA方程為： ，即 ，
直線NTB 方程為： ，即 。
聯立方程組，解得： ，
所以點T的坐標為 。
（3）點T的坐標為
直線MTA方程為： ，即 ，
直線NTB 方程為： ，即 。
分別與橢圓 聯立方程組，同時考慮到 ，
解得： 、 。
方法一：當 時，直線MN方程為：
令 ，解得： 。此時必過點D（1，0）；
當 時，直線MN方程為： ，與x軸交點為D（1，0）。
所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。
方法二：若 ，則由 及 ，得 ，
此時直線MN的方程為 ，過點D（1，0）。
若 ，則 ，直線MD的斜率 ，
直線ND的斜率 ，得 ，所以直線MN過D點。
因此，直線MN必過 軸上的點（1，0）。
【方法技巧】由于定點、定值是變化中得不變量，引進參數表述這些量，不變的量就是與參數無關的量，通過研究何時變化的量與參數無關，找到定點或定值的方法叫做參數法，其解題的關鍵是合適的參數表示變化的量.
當要解決動直線過定點問題時，可以根據確定直線的條件建立直線系方程，通過該直線過定點所滿足的條件確定所要求的定點坐標.
【高考真題探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ１1）若點O和點F分別為橢圓 的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則 的最大值為（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
【命題立意】本題考查橢圓的基本概念、平面向量的內積、利用二次函數求最值.
【思路點撥】先求出橢圓的左焦點，設P為動點，依題意寫出 的表達式，進而轉化為求解條件最值的問題，利用二次函數的方法求解.
【規范解答】選C，設 ，則 ，又因為
，又 ， ，所以 .
2．（2010?安徽高考理科?Ｔ5）雙曲線方程為 ，則它的右焦點坐標為（ ）
A、 B、 C、 D、
【命題立意】本題主要考查雙曲線方程及其中系數的幾何意義，考查考生對雙曲線方程理解認知水平．
【思路點撥】方程化為標準形式 確定實半軸 和虛半軸 由 求半焦距
確定右焦點坐標.
【規范解答】選 C， 雙曲線方程為 ，
， ，得 ，
它的右焦點坐標為 ，故C正確.
3．（2010?福建高考理科?Ｔ２）以拋物線 的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【命題立意】本題考查學生對拋物線焦點的識記以及圓方程的求解.
【思路點撥】 的焦點為 ，求解圓方程時，確定了圓 心與半徑即可.
【規范解答】選D，拋物線的焦點為 ，又圓過原點，所以 ，
方程為 .
【方法技巧】方法一：（設圓的標準方程） 拋物線的焦點為 ， 圓心為 ，設圓的方程為 ，又 圓過原點 ， ， ， 所求圓的方程為 即為 ；
方法二：（設圓的一般方程）設圓的方程為 ， 拋物線的焦點為 ， 圓心為 ， ，又圓過原點， ， ， 所求圓的方程為 .
4．（2010?福建高考文科?Ｔ１9）已知拋物線C： 過點A （1 , -2）.
（I）求拋物線C 的方程，并求其準線方程；
（II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于 ？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由.
【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想、分類與整合思想.
【思路點撥】第一步用待定系數法求出拋物線方程及其準線方程；第二步依題意假設直線l的方程為 ，聯立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于 列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數t的限制.
【規范解答】（I）將 代入 ，得 ， ，
故所求的拋物線方程為 ，其準線方程為 ；
（II）假設存在符合題意的直線 ，其方程為 ，由 得 ，因為直線 與拋物線C有公共點，所以 ，解得 。另一方面，由直線OA與直線 的距離等于 可得 ，由于 ，所以符合題意的直線 存在，其方程為 .
【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式 的限制.因為拋物與直線有交點，注意應用 進行驗證可避免增根也可以用來限制參數的范圍.
5．（2010?重慶高考文科?Ｔ21）已知以原點 為中心， 為右焦點的雙曲線 的離心率
（1 ）求雙曲線 的標準方程及其漸近線方程；
（2）如 圖，已知過點 的直線
與過點 （其中 ）的直線 的交點
在雙曲線 上，直線 與雙曲線的兩條漸近線分別交與 , 兩點，
求 的值.
【命題立意】本小題考查雙曲線的定義、標準方程、性質等基礎知識，考查直線方程的基礎知識，考查平面向量的運算求解能力，體現了方程的思想和數形結合的思想方法.
【思路點撥】（1）由 求出 ，再由 求出 ；（2）點E是關鍵點，根據點E的坐標求出直線MN的方程，解兩條直線組成的方程組的點G，H的坐標，即向量 , 的坐標，再進行向量的數量積運算，化簡、整理可得.
【規范解答】(1)設C的標準方程為 ( , )，
則由題意知 ，又 ， 所以 ，
，C的標準方程為
C的漸近線方程為 ，即 和 .
（2）（方法一）由題意點 在直線 ： 和 ： 上，
因此有 ， ，
所以點M，N均在直線 上，
因此直線MN的方程為 ；
設G，H分別是直線MN與漸近線 及 的交點，
解方程組 及 得： ， ，
所以 ， ，
故 ，
因為點E在雙曲線 上，有 ，所以 .
（方法二）設 ，由方程組
解得 ， ，
因為 ，所以直線MN的斜率 ，
故直線MN的方程為 ，注意到 ，
因此直線MN的方程為 .
以下與解法一相同.
【方法技巧】（1）字母運算是解答本題的主要特點；（2）已知與未知的相互轉化，即關于點E的坐標兩個等式 和 ，通過轉化字母的已知與未知的關系， 和 看作已知，點 和 代入方程 所得，簡捷得到直線MN的方程；（3）關鍵點E在解題中的關鍵作用.
6．（2010?海南高考理科?T20）設 分別是橢圓E: （a>b>0）的左、右焦點，過 斜率為1的直線 與E 相交于 兩點，且 , , 成等差數列.
（Ⅰ)求E的離心率；
（Ⅱ）設點P（0,-1）滿足 ,求E的方程.
【命題立意】本題綜合考查了橢圓的定義、等差數列的概念以及直線與橢圓的關系等等.解決本題時，一定要靈活運用韋達定理以及弦長公式等知識.
【思路點撥】利用等差數列的定義，得出 , , 滿足的一個關 系，然后再利用橢圓的定義進行計算.
【規范解答】（Ⅰ)由橢圓的定義知， ，又
得 ， 的方程為 ，其中
設 ，則 兩點坐標滿足方程組
化簡得，
則 ， .
因為直線AB斜率為1，所以
得 ，故 ,所以E的離心率 .
（Ⅱ）設 兩點的中點為 ，由（Ⅰ)知 ， .
由 ，可知 .即 ，得 ，從而 .
橢圓E的方程為 .
【方法技巧】熟練利用圓錐曲線的定義及常用的性質，從題目中提取有價值的信息，然后列出方程組進行相關的計算.
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知橢圓兩個焦點的坐標分別是 ， ，并且經過點 ，則它的標準方程是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知橢圓 的長軸長是短軸長的 倍，斜率為1的直線 與橢圓相交，截得的弦長為正整數的直線 恰有3條，則 的值為（ ）
A. B . C. D.
3．已知 分別是雙曲線 的左、右焦點，過 作垂直于 軸的直線交雙曲線于 、 兩點，若 為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
4．兩個正數a、b的等差中項是 , 一個等比中項是 的離心率e等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知拋物線 ，以 為中點作拋物線的弦，則這條弦所在直線方程為 （ ）
A． B．
C． D．
6．如圖所示，橢圓 的離心率 ,左焦點為F,A、B、C為其三個頂點，直線CF與AB交于D，則 的值等于 （ ）
A. B. C. D.
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B,交其準線于C,若BC=2BF,且AF=3,則此拋物線的方程為_______.
8．某拋物線形拱橋的跨度為20米，拱高是4米，在建橋時，每隔4米需用一根柱支撐，其中最高支柱的高度是 ．
9．過雙曲線 的右焦點F作傾斜角為 的直線，交雙曲線于P,Q兩點，則PQ｜的值為__________.
三、解答題（10、11題15分，12題16分）
10．如圖、橢圓 的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點。
(1)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
(2)設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線任意轉動，都有 ，求a的取值范圍.
11．如圖，傾斜角為α的直線經過拋物線 的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（Ⅱ）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明FP-FPcos2α為定值，并求此定值。
12．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．
已知點 是雙曲線M： 的左右焦點，其漸近線為 ，且右頂點到左焦點的距離為3．
(1)求雙曲線M的方程；
(2) 過 的直線 與M相交于 、 兩點，直線 的法向量為 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點C滿足 ，求m的值及△ABC的面積 ．
參考答案
一、選擇題
1．D
2．C
3．A
4．D
5．B
6． B
二、填空題
7．【解析】分別作A、B在l上的射影A1、B1,
∴AA1=AF=3,
BB1=BF= BC.
∴∠BCB1=30°,
∴AC=2AA1=6,
∴FC=3.
∴p= FC= .
∴拋物線方程為y2=3x.
答案：y2=3x
8．3.84米
9．
三、解答題
10．【解析】(1)設M，N為短軸的兩個三等分點，
因為△MNF為正三角形，所以 , -----------------------------2分
即1＝ -------------------------------------------------------4分
因此，橢圓方程為 ----------------------------------6分
(2)設
①當直線 AB與x軸重合時，
----------8分
②當直線AB不與x軸重合時，
設直線AB的方程為：
整理得
所以 ------------------------------10分
因為恒有 ，所以 AOB恒為鈍角.
即 恒成立.
---------------------------------------- -12分
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對m R恒成立.
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對m R恒成立.
當m R時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2
解得a> 或a< (舍去)，即a> , -------------------------15分
11．【解析】：設拋物線的標準方程為 ，則 ，從而
因此焦點 的坐標為（2，0）.
又準線方程的一般式為
從而所求準線l的方程為 ……………（6分）
（Ⅱ）解：如圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知
FA=FC,FB=BD.
記A、B的橫坐標分別為xxxz，則
FA＝AC＝ 解得 ，
類似地有 ，解得
記直線m與AB的交點為E，則
所以
故 ………………………（15分）
12．【解析】 (1) 由題意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直線 的方程為 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化簡，并解得 （舍去負值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化簡得 ，
此時 ，
所以 …………………………………11分
設 ，由 得 代入雙曲線M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
點C到直線AB的距離為 ，
所以 ．……………………………………………………16分
【備課資源】
3. 點M(5,3)到拋物線x2=ay(a＞0)的準線的距離為6,那么拋物線的方程是_______.
【解析】拋物線的準線方程為y=- ,由題意知
3+ =6,∴a=12.
∴拋物線方程為x2=12y.
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