2012屆高考數學二輪復習
專題十二 高考中的解答題的解題策略
【重點知識回顧】
解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎知識和基本方法與技能，中檔題還要考查數學思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運用數學知識的能力及分析問題和解決問題的能力．
解答題的解題步驟
1.分析條件，弄清問題
2.規范表達，實施計劃
3.演算結果，回顧反思
解答題的解題策略
1.從條件入手――分析條件，化繁為簡，注重隱含條件的挖掘；
2.從結論入手――執果索因，搭好聯系條件的橋梁；．
3.回到定義和圖形中來；
4.換一個角度去思考；
5優先作圖觀察分析，注意挖掘隱含條件；
6.注重通性通法，強化得分點。
【典型例題】
1.從定義信息入手
定義信息型題是近幾年來高考出現頻率較高的新題型之一，其命題特點是：給出一個新的定義、新的關系、新的性質、新的定理等創新情境知識，然后在這個新情境下，綜合所學知識并利用新知識作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個步驟：（1）對新知識進行信息提取，確定化歸方向；（2）對新知識中所提取的信息進行加工，探究解題方法；（3）對提取的知識加以轉換，進行有效組合，進而求解．
例1、根據定義在集合A上的函數 ，構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①輸入數據 ，計算出 ；②若 ，則數列發生器結束工作，若 ，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計算出 ，并依此規律繼續下去，現在有 ， ，
（Ⅰ）求證：對任意 ，此數列發生器都可以產生一個無窮數列 ；
（Ⅱ）若 ，記 ，求數列 的通項公式．
【解析】（Ⅰ）證明：當 ，即0
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
即 ．故對任意 有 ；由 有 ，由 有 ；以此類推，可以一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列 ．
（Ⅱ）由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
令 ，則 ，又
，
∴數列 是以 為首項，以 為公比的等差數列，
∴ ，于是 ．
【題后反思】
本題以算法語言為命題情境，構造一個數列發生器，通過定義工作原理，得到一個無窮數列 ，這是命題組成的第一部分，解答時只需依照命題程序完成即可，第（Ⅱ）問其實是一個常規的數學問題，由上可知，創新題的解答還是需要考生有堅實的數學解題功底．
2. 由巧法向通法轉換
巧法的思維起點高，技巧性也強，有匠心獨具、出人意料等特點，而巧法本身的思路難尋，方法不易把握，而通法則體現了解決問題的常規思路，而順達流暢，通俗易懂的特點．
例2、已知 ，求 的取值范圍．
【解析】由 ，得 ，
∴ ，
∴
，
從而得 ．
【題后反思】
本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強的題目，求解時常常出錯，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數學方法之一――消元法上來，則解法通俗、思路清晰．
3. 常量轉化為變量
轉化思想方法用于研究、解釋數學問題時思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化成另一種情況，也就是轉化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維模式，轉化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達到解決問題的有利境地，通向問題解決之策．有的問題需要常、變量相互轉化，使求解更容易．
例3、設 ，求證： ．
【解析】令 ，則有 ，若 ，則 成立；
若 ，則 ，∴方程有兩個相等的實數根，即 ，
由韋達定理， ，即 ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【題后反思】
把變量變為常量，也就是從一般到特殊，是我們尋找規律時常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變為變量，從特殊到一般使問題得到解決．
4. 主元轉化為輔元
有的問題按常規確定主元進行處理往往受阻，陷于困境，這時可以將主元化為輔元，即可迎刃而解．
例4、對于滿足 的所有實數p，求使不等式 恒成立的x的取值范圍．
【解析】把 轉化為 ，則成為關于p的一次不等式，則 ，得 ，由一次不等式的性質有： ，
當 時， ，∴ ；
當 時， ，∴ ，綜上可得： ．
【題后反思】
視x為主元，不等式是關于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉化為主元，不等式是關于p的一次的不等式，則問題不難解決．
5. 正向轉化為反向
有些數學問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”
例5、若橢圓 與連接A（1，2）、B（3，4）兩點的線段沒有公共點，求實數a的取值范圍．
【解析】設線段AB和橢圓有公共點，由A、B兩點的坐標可得線段AB的方程為 ， ，則方程組 ，消去y
得： ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴當橢圓與線段AB無公共點時，實數a的取值范圍為 ．
【題后反思】
在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應從反面的方向去探索．
6. 數與形的轉化
數形結合，實質上是將抽象的語言與直觀圖形結合起來，以便化抽象為直觀，達到化難為易，化簡為繁的目的．
例6、已知 是定義在 上的奇函數，且在區間 上是增函數，若 ，解不等式 ．
【解析】由 在 上為增函數，且 是定義域上的奇函數，
∴ 在 上也是增函數．
∵ ，∴ ，∴ 或 ，
由函數的單調性知： 或 ，
∴原不等式的解集為：
【題后反思】
由已知， 是定義在 上的奇函數，且在區
間 上是增函數，由 ，則可得 的
大致圖像如下圖，可知
7．自變量與函數值的轉化
函數單調性的定義明確體現了函數自變量的不等式關系與函數值間不等關系相互轉化的思想，理解它們之間的相互轉化關系，有利于靈活運用函數的單調性解題．
例7、設 是定義在 上的增函數，且對于定義域內任意x、y，都有
，求使不等式 成立的x的取值范圍．
【解析】∵ 的定義域是 ，∴ ，即 ，
由于 ，得 ，
由 ，得 ，
∴由題設條件得： ，
∵ 是定義在 上的增函數，∴ ，解之得： ，又 ，
∴適合題意的x的取值范圍為[3，4]．
【題后反思】
這類抽象函數求解是初學者較難掌握的，解題的關鍵需實現三種轉化：
①將函數值間的不等關系轉化為自變量的不等關系；②根據函數的單調性意義又能比較兩個值的大小，因此需將 ，根據等價轉化為 ；③需將②轉化為某自變量的函數值，從而建立關于x的不等關系，求出x的取值范圍．
8. 類比歸納
類比是將式子結構、運算法則、解題方法、問題結論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法；歸納是從個別特殊事例，若干特殊現象遞推出同一類事物的一般性結論，總結出同一種現象的一般規律的一種思考問題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創造性思維能力，培養考生的創新精神和創造力．因為這類創新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強，所以它們在高考中頻繁亮相，已成為高考中的又一個熱點．
例8、如下圖所示，定義在D上的函數 ，如果滿足：對任意 ，存在常數A，都有 成立，則稱函數 在D上有下界，其中A稱為函數的下界（提示：下圖①②中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零．）
（Ⅰ）試判斷函數 在
上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）具有圖②所示特征的函數稱為
在D上有上界，請你類比函數有下界 ① ②
的定義，給出函數 在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在 上是否有上界，并說明理由．
【解析】
∵ ，由 ，得 ，∵ ，∴x=2,
∵當0
∴x=2是函數 在區間（0， ）上的最小值點， ，
于是，對任意 ，都有 ，即在區間（0， ）是存在常數A=32，使得對任意 ，都有 成立，所以，函數 在 上有下界．
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數 ，如果滿足：對任意 ，存在常B，都有 成立，則稱函數 在D上有上界，其中B稱為函數的上界．
設x<0，則-x>0，則（Ⅰ）知，對任意 ，都有 ，∴ ，
∵函數 為奇函數，∴ ，∴ ，即 ，
即存在常數B=-32，對任意 ，都有 ，所以，函數 在 上有上界．
【題后反思】
本題以高等數學中的函數有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題．數學中有許多能夠產生類比的知識點，如等差數列與等比數列的內容有著非常和諧的“同構”現象，立體幾何中的很多結論和方法都可以從平面幾何中產生“靈感”進行遷移，我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯系，把握知識間的內在規律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力．
【模擬演練】
（1）已知函數
（Ⅰ）若 ，求x的值；
（Ⅱ）若 對于 恒成立，求實數m的取值范圍．
（2）設函數 ，曲線 通過點（0，2a+3）且在點（-1， ）處的切線垂直于x軸．
用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數 的單調區間．
（3）在直角坐標系xOy中，點P到兩點（ ），（ ）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線 與C交于A、B兩點，
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）若 ，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有 ．
（4）已知函數 ， ， ，
（Ⅰ）將函數 化簡成 的形式；
（Ⅱ）求函數 的值域．
（5）已知曲線C1： 所圍成的封閉圖形的面積為 ，曲線C1的內切圓半徑為 ，記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓，
（Ⅰ）求橢圓C2的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點，①若 （O為坐標原點），當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；②若M是與橢圓C2的交點，求 面積的最小值．
（6）已知元素為實數的集合S滿足下列條件：① ；②若 ，則 ．若非空集合S為有限集，則你對集合S的元素個數有何猜測？并請證明你的猜測．
（7）已知橢圓 的右準線 與x軸相交于點P，右焦點F到上頂點的距離為 ，點C(m,0)是線段OF上的一個動點，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線，其與橢圓交于A、B兩點，且使得 ？親說明理由．
（8）設函數 ，函數 ， ，其中a為常數且 ，令函數 為函數 和 的積函數．
（Ⅰ）求函數 的表達式，并求其定義域；
（Ⅱ）當 時，求函數 的值域；
（Ⅲ）是否存在自然數a，使得函數 的值域恰為 ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數a所構成的集合，若不存在，試說明理由．
（9）已知函數 ，當點 在 的圖像上移動時，點 在孫函數 的圖像上移動．
（Ⅰ）若點P坐標為（1，-1），點Q也在 的圖像上，求t的值；
（Ⅱ）求函數 的解析式；
（Ⅲ）當 時，試探索一個函數 ，使得 在限定域內為 時有最小值而沒有最大值．
（10）矩形鋼板的邊長分別為 ，現要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐，并使其底面邊長為矩形邊長的一半，表面積為ab，試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大，哪一個體積最小，并說明你的結論．
答案：
1．（1） ；
（2）
2．（1）c=2a+3，b=2a；
（2） 的單調減區間為 ，單調增區間為（-2，2）；
3．（1） ，
（2） ，
（3）略；
4．（1） ，
（2） 的值域為 ；
5．（1） ，
（2）① ，② ．
6. S的元素的個數為3的倍數；
7. （Ⅰ） ；
（Ⅱ）當 時， ，即存在這樣的直線；
當 時，k不存在，即不存在這樣的直線．
8， （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ，且 ．
9. （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）當 時， 有最小值0，但沒有最大值．
10．如下圖：
易證： ，即最大 ，最小 ．
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/70084.html
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