二次函數的基本性質
（1）二次函數的三種表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n.
（2）當a＞0，f（x）在區間［p，q］上的最大值為M，最小值為m，令x0= （p+q）.
若－ ＜p，則f（p）=m，f（q）=M；
若p≤－ ＜x0，則f（－ ）=m，f（q）=M；
若x0≤－ ＜q，則f（p）=M，f（－ ）=m；
若－ ≥q，則f（p）=M，f（q）=m.
●點擊雙基
1.設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），則f（ ）等于
A.－ B.－
C.cD.
解析：f（ ）=f（－ ）= .
答案：D
2.二次函數y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的圖象的頂點在x軸上，且a、b、c為△ABC的三邊長，則△ABC為
A.銳角三角形B.直角三角形
C.鈍角三角形D.等腰三角形
解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2.
∴頂點為（a+b，c2－a2－b2）.
由題意知c2－a2－b2=0.
∴△ABC為直角三角形.
答案：B
3.已知函數f（x）=4x2－mx＋5在區間［－2，＋∞）上是增函數，則f（1）的范圍是
A.f（1）≥25B.f（1）=25
C.f（1）≤25D.f（1）＞25
解析：由y=f（x）的對稱軸是x= ，可知f（x）在［ ，+∞）上遞增，由題設只需 ≤－2 m≤－16，
∴f（1）=9－m≥25.
答案：A
4.函數f（x）=2x2－6x+1在區間［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.
解析：f（x）=2（x－ ）2－ .
當x=1時，f（x）min=－3；當x=－1時，f（x）max=9.
答案：－39
5.（2003年春季上海）若函數y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的圖象關于直線x=1對稱，則b=__________.
解法一：二次函數y=x2+（a+2）x+3的圖象關于直線x=1對稱，說明二次函數的對稱軸為1，即－ =1.∴a=－4.而f（x）是定義在［a，b］上的，即a、b關于x=1也是對稱的，∴ =1.∴b=6.
解法二：∵二次函數y=x2+（a+2）x+3的對稱軸為x=1，∴f（x）可表示為f（x）=（x－1）2+c，與原二次函數的表達式比較對應項系數，可得a+2=－2.∴a=－4，b的計算同解法一.
解法三：∵二次函數的對稱軸為x=1，∴有f（x）=f（2－x），比較對應項系數，∴a=－4，b的計算同解法一.
答案：6
●典例剖析
【例1】設x、y是關于m的方程m2－2am+a+6=0的兩個實根，則（x－1）2+（y－1）2的最小值是
A.－12 B.18C.8D.
剖析：由Δ=（－2a）2－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3.
于是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－ ）2－ .
由此可知，當a=3時，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8.
答案：C
深化拓展
Δ≥0是二次方程有實根的隱含條件.
【例2】（2004年江蘇，13）二次函數y=ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如下表：
x－3－2－101234
y60－4－6－6－406
則不等式ax2+bx+c＞0的解集是______________.
解析：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）.
答案：{xx＞3或x＜－2}
【例3】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖象與直線y=25有公共點，且不等式ax2+bx+c＞0的解是－ ＜x＜ ，求a、b、c的取值范圍.
解：依題意ax2+bx+c－25=0有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－ ＜x＜ ，∴a＜0且有－ =－ ， =－ .
∴b= a，c=－ a.∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
∴c≥24.故得a、b、c的取值范圍為a≤－144，b≤－24，c≥24.
評述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）與二次函數y=ax2+bx+c的圖象聯系比較密切，要注意利用圖象的直觀性來解二次不等式和二次方程的問題.
●闖關訓練
夯實基礎
1.下圖所示為二次函數y=ax2＋bx＋c的圖象，則｜OA｜?｜OB｜等于
A. B.－ C.± D.無法確定
解析：OA?OB=OA?OB=x1x2= =－ （∵a＜0，c＞0）.
答案：B
2.已知f（x）=x2－2x+3，在閉區間［0，m］上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是___________________.
解析：通過畫二次函數圖象知m∈［1，2］.
答案：［1，2］
3.已知函數y=（ex－a）2+（e－x－a）2（a∈R，且a≠0），求y的最小值.
解：y＝（ex＋e－x）2－2a（ex＋e－x）＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，則f（t）＝t2－2at＋2a2－2.
∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定義域為［2，＋∞）.
∵拋物線的對稱軸方程是t＝a，
∴當a≥2時，ymin＝f（a）＝a2－2；當a＜2且a≠0時，ymin＝f（2）＝2（a－1）2.
4.要使y=x2+4x（x≥a）有反函數，則a的最小值為___________________.
解析：要使y=x2+4x（x≥a）有反函數，則y=x2+4x在［a，+∞）上是單調函數.∴a≥－2.
答案：－2
5.已知函數f（x）=mx2+（m－3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側，求實數m的取值范圍.
解：若m=0，則f（x）=－3x+1，顯然滿足要求.
若m≠0，有兩種情況：
①原點的兩側各有一個，則 m＜0；
②都在原點右側，則 解得0＜m≤1.
綜上可得m∈（－∞，1］.
培養能力
6.設f（x）=x2－2ax+2.當x∈［－1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍.
解：（1）當a≤－1時，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立 f（x）min≥a，即3+2a≥a a≥－3.故此時－3≤a≤－1.
（2）當a＞－1時，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立 f（x）min≥a，即2－a2≥a a2+a－2≤0 －2≤a≤1.故此時－1＜a≤1.
由（1）（2）知，當－3≤a≤1時，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立.
7.對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點.已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.
（1）當a=1，b=－2時，求f（x）的不動點；
（2）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.
解：（1）當a=1，b=－2時，f（x）=x2－x－3=x x2－2x－3=0 （x－3）（x+1）=0 x=3或x=－1，∴f（x）的不動點為x=3或x=－1.
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點 對任意實數b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有兩個不等實根 對任意實數b，Δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恒成立 對任意實數b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恒成立 Δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0 （1－4a）2－（1+4a）＜0 4a2－3a＜0 a（4a－3）＜0 0＜a＜ .
8.（2003年全國，文）設函數f（x）=x2+x－2－1，x∈R.
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求函數f（x）的最小值.
解：（1）f（x）= ∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是R上的奇函數.∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1），
∴f（x）不是偶函數.
故f（x）是非奇非偶的函數.
（2）當x≥2時，f（x）=x2+x－3，此時f（x）min=f（2）=3.
當x＜2時，f（x）=x2－x+1，此時f（x）min=f（ ）= .
總之，f（x）min= .
探究創新
9.二次函數f（x）=px2+qx+r中實數p、q、r滿足 + + =0，其中m＞0，
求證：（1）pf（ ）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內恒有解.
證明：（1）pf（ ）=p［p（ ）2+q（ ）+r］
=pm［ + + ］=pm［ － ］
=p2m［ ］=p2m［－ ］.
由于f（x）是二次函數，故p≠0.又m＞0，所以pf（ ）＜0.
（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r.
①當p＞0時，由（1）知f（ ）＜0.
若r＞0，則f（0）＞0，又f（ ）＜0，∴f（x）=0在（0， ）內有解；
若r≤0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（－ － ）+r= － ＞0，
又f（ ）＜0，所以f（x）=0在（ ，1）內有解.
因此方程f（x）=0在（0，1）內恒有解.
②當p＜0時，同樣可以證得結論.
評述：（1）題目點明是“二次函數”，這就暗示著二次項系數p≠0，若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結論相應更改.
（2）對字母p、r分類時先對哪個分類是有一定講究的.本題的證明中，先對p分類，然后對r分類顯然是比較好的.
●思悟小結
1.二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖象形狀、對稱軸、頂點坐標、開口方向等是處理二次函數問題的重要依據.
2.二次函數、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們相互之間的關系，能用函數思想來研究方程和不等式，便是抓住了關鍵.
●教師下載中心
點睛
1.二次函數是最重要的初等函數之一，因為很多問題可化歸為二次函數來處理，所以必須熟練掌握二次函數的性質，并能靈活運用這些性質去解決問題.
2.求二次函數的解析式就是確定函數式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的值.二次函數也可以表示為y=a（x－x0）2+h或y=a（x－x1）（x－x2）（b2－4ac≥0）等形式，應提醒學生根據題設條件選用適當的表示形式，用待定系數法確定相應字母的值.
3.結合圖象可以得到一系列與二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有關的結論，時可引導學生總結：
（1）方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小 a?f（r）＜0.
（2）二次方程f（x）=0的兩根都大于r
（3）二次方程f（x）=0在區間（p，q）內有兩根
（4）二次方程f（x）=0在區間（p，q）內只有一根 f（p）?f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）內或f（q）=0，另一根在（p，q）內.
（5）方程f（x）=0的兩根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）
4.二次函數與二次不等式密切相關，借助二次函數的圖象和性質，可方便直觀地解決與不等式有關的問題.例如：
（1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞） a＜0且f（α）=f（β）=0.
（2）當a＞0時，f（α）＜f（β） α+ ＜β+ ；
當a＜0時，f（α）＜f（β） α+ ＞β+ .
（3）當a＞0時，二次不等式f（x）＞0在［p，q］上恒成立
或 或
（4）f（x）＞0恒成立 或
f（x）＜0恒成立 或
拓展題例
【例1】已知當m∈R時，函數f（x）＝m（x2－1）＋x－a的圖象和x軸恒有公共點，求實數a的取值范圍.
解：（1）m=0時，f（x）=x－a是一次函數，它的圖象恒與x軸相交，此時a∈R.
（2）m≠0時，由題意知，方程mx2＋x－（m＋a）＝0恒有實數解，其充要條件是Δ＝1＋4m（m＋a）＝4m2＋4am＋1≥0.又只需Δ′＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1，即a∈［－1，1］.
∴m＝0時，a∈R；m≠0時，a∈［－1，1］.
評述：g（a）是a的函數，可作出g（a）的草圖來求最大值.
【例2】已知f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象過點（－1，0），是否存在常數a、b、c，使不等式x≤f（x）≤ 對一切實數x都成立？
解：∵f（x）的圖象過點（－1，0），∴a－b+c=0①
∵x≤f（x）≤ 對一切x∈R均成立，
∴當x=1時也成立，即1≤a+b+c≤1.故有a＋b＋c＝1.②
由①②得b= ，c= －a.∴f（x）＝ax2＋ x＋ －a.
故x≤ax2＋ x＋ －a≤ 對一切x∈R成立，
也即 恒成立
解得a= .∴c= －a= .
∴存在一組常數a= ，b= ，c= ，使不等式x≤f（x）≤ 對一切實數x均成立.
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