3.函數的單調性與最值
一、知識梳理：
1、函數的單調性
（1） 函數的單調區間必須在定義域內。分別在兩個區間上單調用“和”連接而不能用并.
如：求函數 的單調區間。
（2）定義：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1
（3）函數單調性的證明、判斷和求單調區間：定義法,導數法。
定義法：對任意的 ， ，判斷 的符號，兩法因式分解和配方法，以 說明之
（4）初等函數的單調性：一次函數，反比例函數，二次函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數等函數的單調區間。具體說明。
（5）設 是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則 在M上是減函數；若f(x)與g(x)的單調性相同，則 在M上是增函數。
如求函數 的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 。
（6）簡單性質：
①奇函數在其對稱區間上的單調性相同；②偶函數在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函數 增函數 是增函數；減函數 減函數 是減函數；
增函數 減函數 是增函數；減函數 增函數 是減函數。
2、函數的最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數y=f(x)的最大值。
其意義2點：
○1 函數最大（�。┦紫葢撌悄骋粋�函數值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
○2 函數最大（�。⿷撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑�，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）求最值方法：函數單調性法（包括導數法）、基本不等式法；
二、典例討論：
1、基本初等復合函數的單調區間
例1.求下列函數的單調區間，并確定每一單調區間上的單調性.
解：（1）圖象法:遞增區間： 和 ，遞減區間： 和
（2）初等復合函數法:遞增區間： ，遞減區間：
（3）遞增區間： ，遞減區間：
例2、已知 討論函數 的單調性。
解： 的定義域為 ，且 ， 為奇函數。
所以只需討論 在 上的單調性，任取 且 ，
則
因為 ，
因為 為增函數，所以 即 ，
所以 在 上遞減，因為 為奇函數，所以 在 上也遞減
點評：對數函數的單調性討論的處理。
討論練習1：判斷函數 ( ≠0)在區間(－1，1)上的單調性。
解：設 , 則
－ ＝ ,
∵ , , , , ∴ >0,
∴ 當 時, , 函數 在(－1, 1)上為減函數，
當 時, , 函數 在(－1, 1)上為增函數.
方法二、導數法：
∴ 當 時, , 函數 在(－1, 1)上為減函數，
當 時, , 函數 在(－1, 1)上為增函數.
點評：解單調性大題時只有兩種合法方法：定義法和導數法。
例3、函數 的圖象如圖所示：則 的單調減區間是（ ）
解：令 ，則 在 和 上為遞增，所以在 和 由復合函數的單調性規則知， 為遞減，故選C
例4、（1）已知 是R上的減函數，那么 的取值范圍是（ ）
解： 在 遞減， ， 時 。故選C
（2）函數 在 上的最大值與最小值的和為 ，則 .
解：無論 和 ， 與 同增減，所以最大值與最小值的和一定是
4、單調性的應用
例5、已知函數 是定義在R上的偶函數，且在 上是增函數，令 ，則（ ）
解：
，
所以， ，故選A
5、綜合問題
例6、 定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）.
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是R上的增函數；
（4）若f（x）?f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.
解：（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）證明：當x＜0時，－x＞0，∴f（0）=f（x）?f（－x）=1.
∴f（－x）= ＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，∴x∈R時，恒有f（x）＞0.
（3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）?f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）?f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數.
（4）解：由f（x）?f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
評述：解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調性的關鍵，這里體現了向條件化歸的策略.
三、課堂小結：
四、課后作業：
1.討論函數f（x）=x+ （a＞0）的單調性.?
解 方法一 顯然f（x）為奇函數，所以先討論函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，設x1＞x2＞0,則?
f(x1)-f(x2) =（x1+ ）-（x2+ ）=(x1-x2)?（1- ）.
∴當0＜x2＜x1≤ 時， ＞1,?
則f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0， ］上是減函數.?
當x1＞x2≥ 時，0＜ ＜1，則f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f（x）在［ ，+∞）上是增函數.∵f（x）是奇函數，?
∴f（x）分別在（-∞，- ］、［ ，+∞）上為增函數；?
f（x）分別在［- ，0）、（0， ］上為減函數.?
方法二 由f ′（x）=1- =0可得x=±
當x＞ 時或x＜- 時，f ′(x)＞0，∴f（x）分別在（ ，+∞）、（-∞，- ］上是增函數.?
同理0＜x＜ 或- ＜x＜0時，f′（x）＜0?
即f（x）分別在（0， ］、［- ，0）上是減函數.
2.求函數y= （4x-x2）的單調區間.?
解 由4x-x2＞0，得函數的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y= t.?
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的單調減區間是［2，4），增區間是（0，2］.?
又y= t在（0，+∞）上是減函數，
∴函數y= （4x-x2）的單調減區間是（0，2］，單調增區間是［2，4).
3.定義在R上的函數y=f（x），對任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）, 當x＞0時，f(x)<0,f(1)= .
(1)判斷f（x）在R上的單調性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值。
解：（1）令
設任意的 且 ，
所以f（x）是在R上的減函數
（2）
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