1．分類計數原理（也稱加法原理）：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．
2．分步計數原理（也稱乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．
3．一般地說，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
4．從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從 個為不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Amn表示．排列數公式Amn = 5．n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，全排列數用Ann表示，它等于自然數從1到n的連乘積，自然數從1到n的連乘積叫做n的階乘，用 表示．
6．一般地說，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
7.從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Cmn表示．
組合數公式 ＝ ＝
8．排列與組合的共同點，就是都要“從n個不同元素中，任取 個元素”，而不同點就是前者要“按一定的順序成一列”，而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”．
排列、組合的概念具有廣泛的實際意義，解決排列、組合問題，關鍵要搞清楚是否與元素的順序有關。復雜的排列、組合問題往往是對元素或位置進行限制，因此掌握一些基本的排列、組合問題的類型與解法對學好這部分知識很重要。
一. 特殊元素（位置）用優先法：把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優先安排的方法。
例1.6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？
二. 相鄰問題用捆綁法：對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個元素看作一個整體，視為一個元素，與其他元素進行排列，然后相鄰元素內部再進行排列。
例2.5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？
三. 不相鄰問題用插空法：元素不相鄰問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？
四. 定序問題用除法：對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法。解題方法是：先將n個元素進行全排列有 種， 個元素的全排列有 種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，則有 種排列方法。
例4. 由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的六位數有多少個？
五. 分排問題用直排法：對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統一成一排的方法求解。
例5. 9個人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？
六．“小團體”排列問題中先整體后局部的策略
例6． 7個人排成一行，甲乙兩人間恰有3人的排法共有多少種？
七. 復雜問題用排除法：對于某些比較復雜的或抽象的排列問題，可以采用轉化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種數，然后去掉不符合條件的方法種數。在應用此法時要注意做到不重不漏。
例7. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，取其中4個不共面的點，則不同的取法共有（ ）A. 150種B. 147種C. 144種D. 141種
八. 多元問題用分類法：按題目條件，把符合條件的排列、組合問題分成互不重復的若干類，分別計算，最后計算總數。
例8.已知直線 中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。
九. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略：
例9. 將4名教師分派到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？
十. 隔板模型法：常用于解決整數分解型排列、組合的問題。
例10. 有10個三好學生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？
練習題：
1、4人跑4×100米接力賽，（1）甲、乙都不跑第一棒的安排方法有 種，
（2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的安排方法有 種，
（3）甲不跑第一棒也不跑第四棒的安排方法有 種。
2、用0、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有 個
3、平面上4條平行直線與另外5條直線互相垂直，則它們構成的矩形共有 個
4、從四臺甲型和五臺乙型電視機中任意取出三臺，其中至少要有甲型與乙型各一臺，則不同的取法有 種。
5、在一個正六邊形的六個區域栽種觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，現有4種不同的植物可供選擇，則有 種栽種方案。
6、從0、1、2、…、9這十個數字中取出三個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的五位數，共有 個。
7、4個不同的小球，放入編號為1、2、3、4的四個盒中，恰有一個空盒的放法
有 種；恰有兩個空盒的放法有 種。
8、將標號為1、2、…、10的10個球放入標號為1、2、…、10的10個盒子內，每個盒內放一球，則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放法共
有 種。
9、5名學生和3名老師站成一排照相，3名老師必須站在一起的不同排法有 種
10.4名男生和3名女生排成一排，其中有且僅有兩名女生相鄰的排法有 種
11、6人站成一排，其中甲、乙、丙不全相鄰的排法共有 種。
12．要使品種不同的4棵楊樹和3棵柳樹栽一行。任何兩棵柳樹不相鄰的栽
有 種；楊柳相間的栽法有 種。
13、7個人排成一行照相，其中甲、乙要求在一起，丙、丁要求分開，則不同的排法有 種。
14、三個人坐在一排8個座位上，若每人左右兩邊豆都有空位，那么共有 種不同的坐法。
15、7個人排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的順序不變的排法有 種。
16、從1、2、3、…、9這9個數中任取7個數，按從小到大的順序排成一列，則不同排列的個數是 。
17、7個人排成一行，甲、乙兩人間恰有3人的排法共有 種
18.馬路上有編號為1， 2， 3， 4…..10的十盞路燈，為節約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關掉，但不能關掉相鄰的兩盞，也不能關掉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法種數有_______種.
19、6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？
（1）一堆一本，一堆兩本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得兩本，一人得三本；
（4）平均分給甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆。
20、6個人進兩間屋子，各有多少種分配方法？
（1）每屋都進3人；
（2）每屋至少進1人；
（3）每屋至少進2人；
高考題匯編
1.（2009寧夏海南卷）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數字作答）。
2.（2009浙江卷理）甲、乙、丙 人站到共有 級的臺階上，若每級臺階最多站 人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是 （用數字作答）．
3.（2009北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為 （ ）A．8B．24C．48D．120
4．（2009北京卷理）用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ） A．324 B．328 C．360 D．648
5.（2009全國卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 （A）6種 （B）12種 （C）24種 （D）30種
6. （2009全國卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A. 6種 B. 12種 C. 30種 D. 36種
7.（2009遼寧卷理）從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有
（A）70種 （B） 80種 （C） 100種 （D）140種
8.（2009重慶卷）將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有 種（用數字作答）．
9.(2009湖南卷)從10名大學生畢業生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數位 （ ）
A 85 B 56 C 49 D 28
10.(2009湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為
11.（2009陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
12.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有
A.120種 B.96種 C.60種 D.48種
13.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業的負責人開會，其中甲企業有2人到會，其余4家企業各有1人到會，會上有3人發言，則這3人來自3家不同企業的可能情況的種數為（ ）
A．14 B．16 C．20 D．48
14.（2009全國卷Ⅰ）甲組有5名男同學、3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學，若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（ ）
（A）150種（B）180種 （C）300種（D）345種
音美班案：二項式定理
1．(a＋b)n＝ (n∈N)，這個公式稱做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數 叫做二項式系數．式中的 叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項公式Tr＋1＝ 是表示展開式的第r＋1項．
2．二項式定理中，二項式系數的性質有：
① 在二項式展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項二項式系數相等，即：
② 如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大，即當n是偶數時，n+1是奇數，展開式共有n+1項，中間一項，即：第 項的二項式系數最大，為 ；當n是奇數時，n+1是偶數，展開式共有n+1項，中間兩項，即第 項及每 項，它們的二項式系數最大，為 ③ 二項式系數的和等于?????????，即????????????④ 二項展開式中，偶數項系數和等于奇數項的系數和
3.對二項式定理的考查主要有以下兩種題型：
（1）求二項展開式中的指定項問題：方法主要是運用二項式展開的通項公式；
（2）求二項展開式中的多個系數的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數與項的系數的區別；求二項式所有項的系數和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1
例1.（1）若(ax－1)5的展開式中x3的系數是－80，則實數a的值是
（2）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展開式中x2項的系數為 ．
（3）若 ，則 的值是（ ）A． B．1 C．0D．2
例2. 已知二項式 ，（n∈N ）的展開式中第5項的系數與第3項的系數的比是10：1，求展開式中各項的系數和
練習題：
1.（2009重慶卷文） 的展開式中 的系數是（ ）.
A．20B．40C．80D．160
2.（2009重慶卷理） 的展開式中 的系數是（ ）
A．16B．70C．560D．1120
3.（2009浙江卷理）在二項式 的展開式中，含 的項的系數是( ) . A． B． C． D．
4.（2009四川卷） 的展開式的常數項是 （用數字作答）
5.（2009湖南卷文）在 的展開式中， 的系數為 (用數字作答).
6.(2009湖南卷)在 的展開式中， 的系數為_____(用數字作答)
7.（2009全國卷Ⅰ） 的展開式中， 的系數與 的系數之和等于 。
8. 的展開式中 的系數是（ ）A． B． C．3D．4
9. 展開式中的常數項為（ ） A．1 B． C． D．
10.若(x+ )n的展開式中前三項的系數成等差數，則展開式中x4項的系數為（ ）(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
11.設 則 中奇數的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12. 的展開式中常數項為 ；各項系數之和為 ．（用數字作答）
13. 展開式中 的系數為_______________。
音美班案 等可能性事件的概率
等可能性事件的概率：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率是 ．如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率：
例1.從數字1，2，3，4，5中任取3個，組成沒有重復數字的三位數，計算：
①這個三位數字是5的倍數的概率；
②這個三位數是奇數的概率；
③這個三位數大于400的概率.
例2. 在一次口試中，要從20道題中隨機抽出6道題進行回答，答對了其中的5道就獲得優秀，答對其中的4道就可獲得及格．某考生會回答20道題中的8道題，試求：（1）他獲得優秀的概率是多少？（2）他獲得及格與及格以上的概率有多大？
音美班教學案 互斥事件有一個發生的概率
1．如果事件A、B互斥，那么事件A+B發生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．
2.由于 是一個必然事件，再加上 ，故 ，于是 ，這個公式很有用，�？墒垢怕实挠嬎愕玫胶喕斨苯忧竽骋皇录母怕瘦^為復雜時，可轉化去求其對立事件的概率．
例3.袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是紅球的概率．（2）3只顏色全相同的概率．（3）3只顏色不全相同的概率．（4）3只顏色全不相同的概率．
變式訓練1：盒中有6只燈泡，其中2只是次品，4只是正品，從其中任取兩只，試求下列事件的概率：
① 取到兩只都是次品；
② 取到兩只中正品、次品各1只；
②取到兩只中至少有1只正品．
音美班教學案 相互獨立事件同時發生的概率
1．事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率 ，這樣的兩個事件叫獨立事件．
2．設A，B是兩個事件，則A?B表示這樣一個事件：它的發生，表示事件A，B ，類似地可以定義事件A1?A2?……An.
3．兩個相互獨立事件A，B同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即P(A?B)
＝ 一般地，如果事件 相互獨立，那么：P(A1?A2……An)＝ .
4．n次獨立重復試驗中恰好發生 次的概率：如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在 次獨立重復試驗中這個事件恰好發生 次的概率是 ．
例4. 兩臺雷達獨立工作，在一段時間內，甲雷達發現飛行目標的概率是0.9，乙雷達發現目標的概率是0.85，計算在這一段時間內，下列各事件的概率：
（1）甲、乙兩雷達均未發現目標；
（2）至少有一臺雷達發現目標；
（3）至多有一臺雷達發現目標
變式訓練2：甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率為 ，甲、乙、丙三人都做對的概率是 ，甲、乙、丙三人全做錯的概率是 ．
（1）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做對這一道題的概率．
音美班教學案 離散型隨機變量的分布列 期望與方差（理）
1．如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做 ，隨機變量通常用希臘字母 ， 等表示．
2．如果隨機變量可能取的值 ，那么這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
3．從函數的觀點來看，P( ＝xk)＝Pk，k＝1， 2， …，n，…稱為離散型隨機變量 的概率函數或概率分布，這個函數可以用 表示，這個 叫做離散型隨機變量的分布列．
4．離散型隨機變量分布列的性質
(1) 所有變量對應的概率值（函數值）均為非負數，即 ．
(2) 所有這些概率值的總和為 即 ．
5．二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率 ，由于 是二項式展開式 的通項，所以稱這個分布為二項分布列，記作
6．若離散型隨機變量 的分布列為 .則稱 為 的數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
7．對于隨機變量 ，稱 為 的方差． 的算術平方根 叫做 的標準差．隨機變量 的方差與標準差都反映了隨機變量取值的 ．
8．數學期望與方差的性質：若 （ 為隨機變量），則 ， ．
9．服從二項分布的隨機變量 的期望與方差：若 ,
1.(2008重慶)從編號為1,2,…,10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為（ ） (A) (B) (C) (D)
2.(2008山東)在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數列的概率為（ ） （A） �。˙） （C） �。―）
3.(2008福建)某一批花生種子，如果每1粒發牙的概率為 ,那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是（ �。〢. B. C. D.
4.（2009重慶卷）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（ ）
A． B． C． D．
5.（2009重慶卷）12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為（ ）
A． B． C． D．
6.(2009山東卷文)在區間 上隨機取一個數x， 的值介于0到 之間的概率為( ).A. B. C. D.
7.(2009山東卷理)在區間[-1，1]上隨機取一個數x， 的值介于0到 之間的概率為( ) A. B. C. D.
8.（2009安徽卷）從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是________。
9.（2009北京卷）某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是 ，遇到紅燈時停留的時間都是2min.（Ⅰ）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
(文)（Ⅱ）這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率.
(理)（Ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間 的分布列及期望.
10.（2009重慶卷文）某單位為綠化環境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）兩種大樹各成活1株的概率．
10.（2009重慶卷理）某單位為綠化環境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：
求：（Ⅰ）兩種大樹各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株數 的分布列與期望．
11.（2009全國卷Ⅰ）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束。假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立。已知前2局中，甲、乙各勝1局。
(文)（Ⅰ）求再賽2局結束這次比賽的概率；（Ⅱ）求甲獲得這次比賽勝利的概率。
（理）（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（II）設 表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數，求 得分布列及數學期望。
12.（2009全國卷Ⅱ）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人�，F采用分層抽樣（層內采用不放回簡單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核。（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數；
（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(文)（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.
（理）（III）記 表示抽取的3名工人中男工人數，求 的分布列及數學期望。
13.（2009江西卷）某公司擬資助三位大學生自主創業，現聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創業方案進行評審．假設評審結果為“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創業資助；若只獲得一個“支持”，則給予5萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助．求：
(文)(1) 該公司的資助總額為零的概率；（2）資助總額超過15萬元的概率．. （理）令 表示該公司的資助總額．(1) 寫出 的分布列；(2) 求數學期望 ．
14.(2008陜西省理)某射擊測試規則為：每人最多射擊3次，擊中目標即終止射擊，第 次擊中目標得 分，3次均未擊中目標得0分．已知某射手每次擊中目標的概率為0.8，其各次射擊結果互不影響．（Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率；
（Ⅱ）該射手的得分記為 ，求隨機變量 的分布列及數學期望．
15.（2009浙江卷理）在 這 個自然數中，任取 個數．
（I）求這 個數中恰有 個是偶數的概率；
（II）設 為這 個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為 ，則有兩組相鄰的數 和 ，此時 的值是 ）．求隨機變量 的分布列及其數學期望 ．
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/72797.html
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