專題九 算法與推理
【重點知識回顧】
答案：順序結構 分支結構 循環結構 合情推理 歸納推理 類比推理 演繹推理
綜合法 分析法 反證法 數學歸納法
【典例例題】
題型1算法框圖例1 (1)定義函數CONRND(a,b)是產生區間(a,b)內的任何一個實數的
隨機數函數.如圖所示的算法框圖可用來估計π的值.現在N輸入的值為10
0,結果m的輸出值為21,則由此可估計π的近似值為 . .
(2)(2011年?江西)下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結果是
.
【分析】(1)讀懂算法框圖的循環結構和隨機數函數,用幾何概型求之.
(2)先考慮循環變量s和計數變量n的初始值,再確定循環體及循環次數并計算每次的運算結果,最后確定輸出變量s的值.
【解析】(1)點(A,B)應在矩形區域{(A,B)-1
(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=10>9,故填10.
【答案】(1)3.16 (2)10
總結：(1)算法用來解決實際問題會是高考的一個命題亮點.本題
借助框圖,考查了幾何概型,又驗證了圓周率的近似值,是一道好題.(2)算
法框圖命題背景常常是數列、統計、函數等等.在知識的交匯處命題是
高考的一大特色.本題就是用框圖解決數列的一道好題.
題型2 直接證明與間接證明
綜合法是“由因導果”,而分析法則是“執果索因”,它們是截然相
反的兩種證明方法,分析法便于我們去尋找思路,而綜合法便于過程的敘
述,兩種方法各有所長,在解決具體的問題中,綜合應用,效果會更好.一般
直接證明中的綜合法會在解答題中重點考查.而反證法一般作為客觀題
的判斷方法,很少單獨命題,但可能會在大題中用到.
例3 如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD為
梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,點E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求證:PD∥平面EAC.
【分析】本題以立體幾何中的四棱錐為載體,重點考查平行與垂直這兩大位置關系的推理論證,其中第(1)問,要證面面垂直,即要證兩平面中的一個平面經過另一平面的一條垂線,從而問題的關鍵在于尋找平面PAB或平面PCB的垂線,根據圖形的特征,可證CB與平面PAB垂直,這可由條件AB⊥BC,PA⊥CB即得;第(2)問要使得線面平行,只需保證線線平行,即使PD與平面AEC內的一條直線平行,連結BD交AC于M,從而問題轉化為探究PD與EM能否平行的問題.
【解析】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC為PC在平面ABCD內的射影.
又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=?,
又∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC=?,又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形.
∴DC=?AC=?×?AB=2AB.
連結BD交AC于點M,連結EM,則?=?=2.
在△BPD中,?=?=2,∴PD∥EM.
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,∴PD∥平面EAC.
立體幾何是高中數學的重要組成部分,在高考中的試題多以中檔題形式出現,綜合考查線面平行及垂直問題等基礎知識,在備考復習時,要依據課本知識,構建空間思維網絡,熟練掌握線面平行、垂直的性質、判定定理.
題型3：合情推理
例3．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發現兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規律？
（2）把下面在平面內成立的結論類比推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立：
1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。
2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。
解析：（1）設 為 個點可連的弦的條數，則
（2）
1）一個平面如和兩個平行平面中的一個相交，則必然和另一個也相交，次結論成立；
2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結論不成立。
點評：當前提為真，結論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
題型4：演繹推理
例4．（07年天津）如圖，在五面體 中，點 是矩形 的對角線的交點，面 是等邊三角形，棱 。
（1）證明 //平面 ；
（2）設 ，證明 平面 。
解析：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連結OM.
在矩形ABCD中， ，又 ，
則 ，連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形.
又 平面CDE，切EM 平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）證明：連結FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，
且 。
因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而 ，所以EO⊥平面CDF。
點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
題型5：特殊證法（如：數學歸納法）
例5．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么 ；
（2）（全國II）設數列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。
解析：（1）假設 不大于 ，則或者 < ,或者 = 。
∵a>0，b>0，∴ < < ， <
， a= a=b.這些都同已知條件a>b>0矛盾，∴ .
證法二（直接證法） ，
∵a>b>0,∴a - b>0即 ，
∴ ，∴ 。
（2）(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12。
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－12，
于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a1＝16。
(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 �、�
由(Ⅰ)知S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23。
由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1，2，3，…
下面用數學歸納法證明這個結論
(i)n＝1時已知結論成立；
(ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝kk＋1，
當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝12－Sk，即Sk＋1＝k＋1k＋2，
故n＝k＋1時結論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝nn＋1對所有正整數n都成立，
于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n(n＋1)，
又n＝1時，a1＝12＝11×2，所以｛an｝的通項公式an＝nn＋1，n＝1， 2，3，…
點評：要應用好反證法、數學歸納法證明一些涉及代數、不等式、幾何的結論。
題型10：框圖
例10．（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產數量；
方案2：商家如戰場！抓緊時間搞好調研，然后進行生產，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產使產品占領市場.
（2）公司人事結構圖
解析：（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產數量。
方案2： 商家如戰場！抓緊時間搞好調研，然后進行生產，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產使產品占領市場。
于是：
（2）
點評：建立合理的結構圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習慣遵循從上到下、從左到右的規則。
【模擬演練】
1.如果執行右面的程序框圖，那么輸出的 （ ）
Ａ．2450Ｂ．2500
Ｃ．2550Ｄ．2652
2.如右圖所示的程序框圖的輸出結果是 （ ）
A. B. C. D.
3.如果執行右面的程序框圖，那么輸出的 是 ( )
A． B． C． D．
4.右面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c，要
求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷
框中，應該填入下面四個選項中的（ ）
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c
二.填空題
1如果執行下面
的程序框圖，那么輸出的 =_________ ．
2.閱讀圖4的程序框圖，若輸入m=4,n=3,則輸出a=_______,i=________。
（注：框圖中的賦值符號“＝”，也可以寫成“←”或“：＝”）
3.運行下圖所示的程序流程圖，則輸出 的值
為_________________．
4 .執行下圖的程序框圖，如果輸入的 ，那么輸出的 ________________.
5.根據下面的框圖，打印的最后一個數據是 .
答案：
一.選擇題
1. 解答過程：由程序知
答案C
2.答案：C
3.答案：C
4. 解答過程：易知選A
二.填空題
1.答案：10000
2. 解答過程：要結束程序的運算，就必須通過 整除 的條件運算，
而同時 也整除 ，那么 的最小值應為 和 的最小公倍
數12，即此時有 。
3. 答案：
4. 答案：2548
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