一．復習目標：
1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的復習，提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數形結合的方法解不等式；
3．通過復習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規方法(即通性通法)證明不等式的有關問題；
4．通過證明不等式的過程，培養自覺運用數形結合、函數等基本數學思想方法證明不等式的能力；
5．能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題．
6．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識．．
二．考試要求：
1．理解不等式的性質及其證明。
2．掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用。
3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
4．掌握簡單不等式的解法。
5．理解不等式a-b≤a+b≤a+b。。
三．過程：
（Ⅰ）基礎知識詳析
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方
程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，互相轉化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數、數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系，對含有參數的不等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函
數的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，相互轉化和相互變用．
3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式
化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰．通過復習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．
4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形
→判斷符號(值)．
5．證明不等式的方法靈活多樣，內容豐富、技巧性較強，這對發展分析綜合能力、正逆思維
等，將會起到很好的促進作用．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯系的途徑，證明時往往聯合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．
6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的
基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．
7．不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。
8．不等式應用問題體現了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數學問題，40作答。
9．注意事項：
⑴解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。
⑵解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活運用。
⑶不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。
⑷根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法。
（Ⅱ）范例分析
b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂并能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？
解：依題可知，本題等價于求函數x=f(y)=(y+3)?y-1+(y+3)
(2)當1≤y≤3時，
所以當y=1時，xmin=4．
說明：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示其數學實質．即求集合M中的元素滿足關系式
例2．解關于 的不等式：
分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數 進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：當
。
例3． 己知三個不等式：① ② ③
(1)若同時滿足①、②的 值也滿足③，求m的取值范圍；
(2)若滿足的③ 值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍。
分析：本例主要綜合復習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數形結合思想，解本題的關鍵弄清同時滿足①、②的 值的滿足③的充要條件是：③對應的方程的兩根分別在 和 內。不等式和與之對應的方程及函數圖象有著密不可分的內在聯系，在解決問題的過程中，要適時地聯系它們之間的內在關系。
解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1）因同時滿足①、②的 值也滿足③，A B C
設 ，由 的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時，即可滿足
（2）因滿足③的 值至少滿足①和②中的一個， 因
此 小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程2x +mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可分的內在聯系的，在解決問題的過程中，要適時地聯系它們之間的內在關系．
例4.已知對于自然數a，存在一個以a為首項系數的整系數二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．
分析：回憶二次函數的幾種特殊形式．設f(x)=ax +bx+c(a≠0)．①
頂點式．f(x)=a(x-x ) +f(x )(a≠0)．這里(x ，f(x ))是二次函數的頂點，x =
))、(x ，f(x ))、(x ，f(x ))是二次函數圖象上的不同三點，則系數a，b，c可由
證明：設二次三項式為：f(x)=a(x-x )(x-x )，a∈N．
依題意知：0＜x ＜1，0＜x ＜1，且x ≠x ．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax -a(x +x )x+ax x 為整系數二次三項式，
所以f(0)=ax x 、f(1)=a?(1-x )(1-x )為正整數．故f(0)≥1，f(1)≥1．
從而 f(0)?f(1)≥1． ①
另一方面，
且由x ≠x 知等號不同時成立，所以
由①、②得，a ＞16．又a∈N，所以a≥5．
說明：二次函數是一類被廣泛應用的函數，用它構造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據題設條件恰當選擇二次函數的表達形式，是解決這類問題的關鍵．
例5.設等差數列{a }的首項a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問：它的前多少項的和最大？
分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數列是遞增數列還是遞減數列．
解:設等差數列{a }的公差為d，由Sm=Sn得
ak≥0，且ak+1＜0．
(k∈N)．
說明：諸多數學問題可歸結為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結論的關鍵．
例6．若二次函數y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．
分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性質)
不等式組(Ⅰ)變形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．
解法二(數形結合)
建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現以下一種錯解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數學結構，然后依其數學結構特征，揭示其代數的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數形結合、方程等數學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數學的素養一定會迅速提高．
例7．(2002 江蘇)己知 ，
（1）
（2） ，證明：對任意 ， 的充要條件是 ；
（3） 討論：對任意 ， 的充要條件。
證明：（1）依題意，對任意 ，都有
（2）充分性：
必要性：對任意
（3）
即
而當
例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．
分析：由條件a3+b3=2及待證的結論a+b≤2的結構入手，聯想它們之間的內在聯系，不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”．
證法一 (作差比較法)
因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即 (a+b)3≤23．
證法二 (平均值不等式—綜合法)
因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
所以a+b≤2，ab≤1．
說明：充分發揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮．
證法三 (構造方程)
設a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則
因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以
所以a+b≤2．
由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．
說明：認真觀察不等式的結構，從中發現與已學知識的內在聯系，就能較順利地找到解決問題的切入點．
證法四 (恰當的配湊)
因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，
于是有6≥3ab(a+b)，從而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，
所以a+b≤2．(以下略)
即a+b≤2．(以下略)
證法六 (反證法)
假設a+b＞2，則
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．
因為a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1． ①
另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)?ab＞2ab，
所以ab＜1． ②
于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略)
說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法．
例9．設函數f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相
分析：因為x∈R，故f(x)的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則
又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，
Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即
b2-4ac＜-1，所以b2-4ac＞1．
說明：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．
例10．（2002理）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同。為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？
解：設2001年末的汽車保有量為 ，以后每年末的汽車保有量依次為 ，每年新增汽車 萬輛。
由題意得
例11．已知奇函數
知函數
分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數知識，通過恰當換元，使問題轉化為二次函數在閉區間上的最值問題。
令
要使
10 當
30當
綜上：
例12．如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。
（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬 是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬 ，才能使半個橢圓形隧道的土方工程最��？
（半個橢圓的面積公式為s= 柱體體積為：底面積乘以高， ， 本題結果均精確到0.1米）
分析：本題為2003年上海高考題，考查運用幾何、不等式等解決應用題的能力及運算能力。
解：1)建立如圖所示直角坐標系，則P（11，4.5）
橢圓方程為：
將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程得
故隧道拱寬約為33.3米
2)由橢圓方程
故當拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.
例13．已知n∈N，n＞1．求證
分析:雖然待證不等式是關于自然數的命題，但不一定選用數學歸納法，觀其“形”，它具有較好規律，因此不妨采用構造數列的方法進行解．
說明：因為數列是特殊的函數，所以可以因問題的數學結構，利用函數的思想解決．
例14．已知函數
分析：本例主要復習函數、不等式的基礎知識，絕對值不等式及函數不等式的證明技巧�；舅悸废葘⒑瘮挡坏仁睫D化為代數不等式，利用絕對值不等式的性質及函數的性質。證明（1）再利用二項展開式及基本不等式的證明（2）。
證明：（1）
當且僅當 時，上式取等號。
（2） 時，結論顯然成立
當 時，
例15．（2001年全國理）己知
（1）
（2）
證明：（1）
同理
（2）由二項式定理有
因此
。
（Ⅲ）、強化訓練
1．已知非負實數 ， 滿足 且 ，則 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命題p：函數 的值域為R，命題q：函數
是減函數。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數a的取值范圍是 （ ）
A．a≤1B．a<2C．1
4．求a，b的值，使得關于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
5． 解關于 的不等式
6．（2002北京文）數列 由下列條件確定：
（1）證明：對于 ,
（2）證明：對于 ．
7．設P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1，若t在區間[-2，2]上變動時，P恒為正值，試求x的變化范圍．
8．已知數列 中，
b1=1，點P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。
Ⅰ）求數列
Ⅱ）設 的前n項和為Bn, 試比較 。
Ⅲ）設Tn=
（Ⅳ）、參考答案
1．解：畫出圖象，由線性規劃知識可得，選D
2．解：命題p為真時，即真數部分能夠取到大于零的所有實數，故二次函數 的判別式 ，從而 ；命題q為真時， 。
若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。
若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結果為1
和比較 與 及3的大小，定出分類方法。
解：原不等式化為：
（1）當 時，由圖1知不等式的解集為
（2）當
（3）當
4．分析：方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，相互轉化和相互交通．
解(1) 由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以
(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以
4a+2b+a2-1=0． ①
又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以
(4)由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以
a=0，b=-1．
說明：二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯系．在解決具體的數學問題時，要注意三者之間相互聯系相互滲透，并在一定條件下相互轉換。
5．分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關系，對含參數的不等式，運用圖解法，還可以使得分類標準更加明晰。
解：設 ，原不等式化為 ，在同一坐標系中作出兩函數圖象
故（1）當
（2）
（3）當 時，原不等式的解集為φ
綜上所述，當 時，解集為 ）；當 時，解集為
時，解集為φ。
6．證明：（1）
（2）當 時，
=
7．分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認真思考條件中“t在區間[-2，2]上變動時，P恒為正值．”的含義．你是怎樣理解的？如果繼續思考有困難、請換一個角度去思考．在所給數學結構中，右式含兩個字母x、t，t是在給定區間內變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？
解：設P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因為 P=f(t)在top直角坐標系內是一直線，所以t在區間[-2，2]上變動時，P恒為正值的充要條件
解得log2x＞3或log2x＜-1．
說明：改變看問題的角度，構造關于t的一次函數，靈活運用函數的思想，使難解的問題轉化為熟悉的問題．
8．分析：本題主要復習數列通項、求和及不等式的有關知識。
略解：Ⅰ）
Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
Ⅲ)Tn= ①
②
①-②得
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