專題六：概率與統計、推理與證明、算法初步、復數
第四講 推理與證明
【最新考綱透析】
1．合情推理與演繹推理
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。
2．直接證明與間接證明
（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點；
（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點。
3．數學歸納法
了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。
【核心要點突破】
要點考向1：合情推理
考情聚焦：1．合情推理能夠考查學生的觀察、分析、比較、聯想的能力，在高考中越來越受到重視；
2．呈現方式金榜經，屬中檔題。
考向鏈接：1．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進行歸納時，要先根據已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯系，從而歸納出一般結論；
2．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具有類似的性質。在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后類比推導類比對象的性質。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ１６）觀察下列等式：
① cos2a=2 -1;
② cos4a=8 - 8 + 1;
③ cos6a=32 - 48 + 18 - 1;
④ cos8a=128 - 256 + 160 - 32 + 1;
⑤ cos10a= m - 1280 + 1120 + n + p - 1.
可以推測，m ? n + p = .
【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數進行猜測求解．
【思路點撥】根據歸納推理可得．
【規范解答】觀察得：式子中所有項的系數和為1， ， ，又 ， ， ．
【答案】962．
要點考向2：演繹推理
考情聚焦：1．近幾年高考，證明題逐漸升溫，而其證明主要是通過演繹推理來進行的；
2．主要以解答題的形式呈現，屬中、高檔題。
考向鏈接：演繹推理是由一般到特殊的推理，數學的證明過程主要是通過演繹推理進行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。
例2：（2010?浙江高考理科?Ｔ14）設 ，
將 的最小值記為 ，則
其中 =__________________ .
【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關知識，熟練掌握相關的推理規則是關鍵．
【思路點撥】觀察 的奇數項與偶數項的特點．
【規范解答】觀察 表達式的特點可以看出 ，……， 當 為偶數時， ； ， ，……， 當 為奇數時， ．
【答案】 ．
要點考向3：直接證明與間接證明
考情聚焦：1．直接證明與間接證明是數學證明的兩種思維方式，考查了學生的邏輯思維能力，近幾年高考對此部分的考查有所加強。
2．以解答題的形式呈現，屬中檔題目。
例3：（2010?北京高考文科?Ｔ20）
已知集合 對于 ， ，定義A與B的差為
A與B之間的距離為
（Ⅰ）當n=5時，設 ，求 ， ；
（Ⅱ）證明： ，且 ;
(Ⅲ) 證明： 三個數中至少有一個是偶數
【命題立意】本題屬于創新題，考查了學生運用新知識的能力。本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”、“創新能力”的培養．
【思路點撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ) “至少”問題可采用反證法證明．
【規范解答】（Ⅰ） ＝（1,0,1,0,1）
＝3
(Ⅱ)設
因為 ，所以
從而
由題意知
當 時，
當 時，
所以
(Ⅲ)證明：設
記 由（Ⅱ）可知
所以 中1的個數為k, 中1的個數為
設 是使 成立的 的個數。則
由此可知， 三個數不可能都是奇數，
即 三個數中至少有一個是偶數．
注：（1）有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可；
（2）綜合法和分析法是直接證明常用的兩個方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用。
要點考向4：數學歸納法
考情聚焦：1．新課標區對數學歸納法的考查在去年有加強的趨勢，望能引起足夠的重視；
2．以解答題的形式呈現，屬中檔題。
例4：等比數列{ }的前n項和為 ， 已知對任意的 ，點 ，均在函數 且 均為常數)的圖像上.
（1）求r的值;
（11）當b=2時，記
證明：對任意的 ，不等式 成立
【解析】因為對任意的 ,點 ，均在函數 且 均為常數的圖像上.所以得 ,當 時, ,當 時, ,又因為{ }為等比數列,所以 ,公比為 ,
（2）當b=2時， ,
則 ,所以 .
下面用數學歸納法證明不等式 成立.
當 時,左邊= ,右邊= ,因為 ,所以不等式成立.
假設當 時不等式成立,即 成立.則當 時,左邊=
所以當 時,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
注：（1）用數學歸納法證明與正整數有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。
（2）在本例證明過程中，①考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值供稿通項，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k+1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數學歸納法。
（3）在用數學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n=k+1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區別和聯系。
【高考真題探究】
1．（2010?山東高考文科?Ｔ１０）觀察 ， ， ，由歸納推理可得：若定義在 上的函數 滿足 ，記 為 的導函數，則 =（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命題立意】本題考查歸納推理的有關知識，考查了考生的觀察問題，分析問題解決問題的能力.
【思路點撥】觀察所給的結論，通過歸納類比聯想，得出結論.
【規范解答】選D．通過觀察所給的結論可知，若 是偶函數，則導函數 是奇函數，故選D．
2．（2010?陜西高考理科?Ｔ１２）觀察下列等式： ,……，根據上述規律，第五個等式為 ____________.
【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題．
【思路點撥】找出等式兩邊底數的規律是解題的關鍵．
【規范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數規律明顯，底數關系如下：
即左邊底數的和等于右邊的底數。故第五個等式為：
【答案】
3．（2010?北京高考理科?Ｔ20）已知集合
對于 ， ，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 ；
（Ⅰ）證明： ，且 ;
（Ⅱ）證明： 三個數中至少有一個是偶數
(Ⅲ) 設P ，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為 (P).
證明： （P）≤ .
【命題立意】本題屬于創新題，考查了學生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求．要求教師真正的重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”、“創新能力”的培養．
【思路點撥】（I）直接按定義證明即可；（Ⅱ）“至少”問題可采用反證法證明；(Ⅲ)把 表示出來，再利用均值不等式證明．
【規范解答】（I）設 ， ，
因為 ， ，所以 ,
從而
又
由題意知 ， ， .
當 時， ;
當 時，
所以
(II)設 ， ，
， ， .
記 ，由（I）可知
，
所以 中1的個數為 ， 中1的
個數為 ．
設 是使 成立的 的個數，則
由此可知， 三個數不可能都是奇數，
即 , , 三個數中至少有一個是偶數．
（III） ,其中 表示 中所有兩個元素間距離的總和，
設 中所有元素的第 個位置的數字中共有 個1， 個0
則 ＝
由于
所以
從而
【方法技巧】（1）證明“至少有一個……”的時，一般采用反證法；
（2）證明不等式時要多觀察形式，適當變形轉化為基本不等式．
4．（2010?江蘇高考?Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數。
求證：cosA是有理數；
（2）求證：對任意正整數n，cosnA是有理數。
【命題立意】本題主要考查余弦定理、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊 是有理數，求得結論；（2）可利用數學歸納法證明.
【規范解答】方法一：（1）設三邊長分別為 ， ，∵ 是有理數，
是有理數，分母 為正有理數，又有理數集對于除法的具有封閉性，
∴ 必為有理數，∴cosA是有理數。
（2）①當 時，顯然cosA是有理數；
當 時，∵ ，因為cosA是有理數， ∴ 也是有理數；
②假設當 時，結論成立，即coskA、 均是有理數。
當 時， ，
，
，
解得：
∵cosA， ， 均是有理數，∴ 是有理數，
∴ 是有理數。
即當 時，結論成立。
綜上所述，對于任意正整數n，cosnA是有理數。
方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數及余弦定理知
是有理數。
（2）用數學歸納法證明cosnA和 都是有理數。
①當 時，由（1）知 是有理數，從而有 也是有理數。
②假設當 時， 和 都是有理數。
當 時，由 ，
，
及①和歸納假設，知 和 都是有理數。
即當 時，結論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數。
5．（2009江蘇高考）設 ≥ ＞0,求證： ≥ .
【解析】本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數式的變形能力。滿分10分。
證明：
因為 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，
從而 ≥0，
即 ≥ .
6．（2008安徽高考）設數列 滿足 為實數
（Ⅰ）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ；
（Ⅱ）設 ，證明： ;
（Ⅲ）設 ，證明：
【解析】（Ⅰ）必要性：∵ ，又∵ ，∴ ，即 .
充分性：設 ，對任意 用數學歸納法證明 .
當 時， .
假設當 時， ，則 ，且 ， .
由數學歸納法知， 對任意 成立.
(Ⅱ) 設 ，當 時， ，結論成立；
當 時，∵ ，∴ .
∵ ，由（Ⅰ）知 ，∴ 且 ，
∴ ，
∴ .
(Ⅲ)設 ,當 時， ，結論成立；
當 時，由(Ⅱ)知 ，
∴ .
∴
.
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知 是 的充分不必要條件，則 是 的（ ）
（Ａ） 充分不必要條件 （Ｂ） 必要不充分條件
（Ｃ） 充要條件 （Ｄ） 既不充分也不必要條件
2．設a、b、c都是正數，則 , , 三個數（ ）
A、都大于2 B、至少有一個大于2
C、至少有一個不大于2 D、至少有一個不小于2
3．在△ 中， 所對的邊分別為 ，且 ，則△ 一定是（ ）
（Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等邊三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形
4． 5.已知函數 的定義域為 ，若對于任意的 ，都有 ，則稱 為 上的凹函數.由此可得下列函數中的凹函數為 （ ）
（Ａ） （B） （C） （D）
5.給定正整數n(n≥2)按下圖方式構成三角形數表；第一行依次寫上數1，2，3，…，n，在下面一行的每相鄰兩個數的正中間上方寫上這兩個數之和，得到上面一行的數（比下一行少一個數），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數.例如n=6時數表如圖所示，則當n=2 007時最后一行的數是（ ）
(A)251×22 007
(B)2 007×22 006
(C)251×22 008
(D)2 007×22 005
6.如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應數列{an}(n∈N*)的前12項（即橫坐標為奇數項，縱坐標為偶數項），按如此規律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于( )
(A)1 003(B)1 005
(C)1 006(D)2 011
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．對于等差數列 有如下命題：“若 是等差數列， ， 是互不相等的正整數，則有 ”。類比此命題，給出等比數列 相應的一個正確命題是：“___________________________________________________”。
8．如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則△A1B1C1是 三角形，△A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）
9．(2010漢沽模擬)在直角三角形 中，兩直角邊分別為 ，設 為斜邊上的高，則 ，由此類比：三棱錐 的三個側棱 兩兩垂直，且長分別為 ，設棱錐底面 上的高為 ，則 .
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10.觀察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
問：（1）此表第n行的最后一個數是多少？
（2）此表第n行的各個數之和是多少？
（3）2010是第幾行的第幾個數?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的連續10行的所有數之和為227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.
11．已知數列 ： ， ， ， （ 是正整數），與數列 ： ， ， ， ， （ 是正整數）．
記 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求證：當 是正整數時， ；
（3）已知 ，且存在正整數 ，使得在 ， ， ， 中有4項為100．求 的值，并指出哪4項為100．
12．已知數列 ， ， ， ．記 ． ．
求證：當 時，
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） 。
參考答案
一、選擇題
1．【解析】選Ａ.反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若 則 .
2．【解析】選D.
3．【解析】選A. ， ， ，又因為 ， ；
4．【解析】選C.可以根據圖像直觀觀察；對于（C）證明如下：欲證 ，即證 ，即證 ，即證 ，顯然，這個不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得證；
5．【解析】選C.由題意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行時，最后一行數為(n+1)?2n-2，
所以當n=2 007時，最后一行數為2 008×22 005=251×22 008.
二、填空題
6．【解析】選B.觀察點坐標的規律可知，偶數項的值等于其序號的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,
∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
7．【解析】這是一個從等差數列到等比數列的平行類比，等差數列中 類比到等比數列經常
是 ，類比方法的關鍵在于善于發現不同對象之間的“相似”，“相似”是類比的基礎。 .
答案：若 是等比數列， ， 是互不相等的正整數，則有 。
8．答案：銳角 鈍角
9．答案：
三、解答題
10．【解析】（1）∵第n+1行的第1個數是2n，
∴第n行的最后一個數是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）
=3?22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，該行第1個數是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987個數.
（4）設第n行的所有數之和為an，第n行起連續10行的所有數之和為Sn.
則an=3?22n-3-2n-2,an+1=3?22n-1-2n-1，
an+2=3?22n+1-2n，…，an+9=3?22n+15-2n+7,
∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，
n=5時，S5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的連續10行的所有數之和為227-213-120.
11．【解析】（1）
∵
（2）用數學歸納法證明：當
當n=1時， 等式成立
假設n=k時等式成立，即
那么當 時，
等式也成立.
根據①和②可以斷定：當
（3）
…
∵ 4m+1是奇數， 均為負數，
∴ 這些項均不可能取到100.
此時， 為100.
12．【解析】（Ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當 時，因為 是方程 的正根，所以 ．
②假設當 時， ，
因為 ，
所以 ．即當 時， 也成立．
根據①和②，可知 對任何 都成立．
（Ⅱ）證明：由 ， （ ），得 ．
因為 ，所以 ．由 及 得 ， 所以 ．
（Ⅲ）證明：由 ，得
所以 ，
于是 ，
故當 時， ，又因為 ， 所以 ．
【備課資源】
1.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案:
則第n個圖案中有白色地面磚的塊數是________.
【解析】觀察三個圖形知：白色地面磚有4n+2塊.
答案：4n+2
2.如圖甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB2=BD?BC，該結論稱為射影定理.如圖乙，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內，類比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD這三者之間滿足的關系式是__________.
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