圓錐曲線的發現確實是一個偉大的發現.在笛卡爾直角坐標系中,這些曲線的方程是二次方程,所以圓錐曲線又叫做二次曲線.對于二次曲線的價值大概還沒有人會估計得過高.在我們的實際生活中處處都有圓錐曲線.例如,我們的地球繞太陽運行的軌道是橢圓.太陽系的其他行星的運行軌道都是橢圓.這個事實是由開普勒第一定律確定的.

之所以沿著橢圓軌道運動,是因為每一個行星在每一個瞬間都有不超過某一個值的速度.事實證明,假如這個速度過大了,運動就會沿著拋物線或雙曲線軌道進行.相對于一個靜止的物體,并按照萬有引力定律受他吸引的物體運動,不可能有任何其他的軌道.因此,二次曲線實際上是以我們的宇宙為基礎的.

又如,如果讓拋物線繞其軸旋轉,就得到一個叫做旋轉拋物面的曲面.在拋物面的軸上,有一個具有美妙性質的焦點,任何一條通過該點的直線由拋物面上反射出來之后,在指向上都平行于拋物面的軸.而這意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀,并且把燈泡放在焦點上,那么從拋物面上反射回來的所有光線就形成一束平行光束.這顯然是一個很大的優點,因為正是這樣一束光線在空間中,甚至于在離光源距離相當大的情況下,很少擴散.當然,實際上我們得不到理想的平行光束,因為燈泡不是一個點,但對于實用的目的來說,只要接近于這樣的光束就夠了.

天文望遠鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的.它的作用剛好和探照燈的作用相反:探照燈的反射鏡把光線反射到空間,天文望遠鏡的反射面則把來自宇宙的光線聚焦到自己的焦點上.只要用放大鏡組瞄準這個焦點就行了,這樣,我們就會得到聚焦到其光線的那個星球的信息,這比肉眼觀察所能提供的信息要多的多.

那條不穿過雙曲線的對稱軸叫做雙曲線的虛軸.如果使雙曲線繞這條軸旋轉,那么,形成的曲面(這樣的曲面稱為單葉雙曲面)也有許多實際用處.單葉雙曲面是直紋曲面.上面有兩組母直線族,各組內母線彼此不相交,而與另一組母線永遠相交.正是這種性質在技術中得到了應用.例如,用直立木桿造水塔,如果把這些桿垂直地放置,那就只能得到一個很不牢固的建筑物,他會因為非常小的負荷而損壞.如果立桿時,使他們構成一個單葉雙曲面(就是兩組母線族),并使他們的交點處連接在一起,就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物.許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個原理.

在嘗試解決古代名題的過程中,所發現的各種美妙曲線遠不限于螺線,蚌線和圓錐曲線.可是,不管找到了多少美妙的曲線,他們還是解決不了古代名題.要知道,正像我們還記得的那樣,要求不只是解出這些名題,而是除了直尺和圓規外,不準利用其他任何工具.而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個問題呢?這個問題該如何回答呢?

如果這個答案存在的話,對這個問題給予肯定的回答,原則上顯得比給予否定的回答更容易,只不過需要嘗試才能找到這個答案.經過或多或少,接連不斷的尋找,這種題解通常可以找到.

在題解不存在的情況下,事情則難辦的多.這時,只有停留在普通的幾何直觀上,幾乎不可能得到所需要的答案.在這種情況下,可以對問題進行精確的代數分析,以便用歸結為完成某些代數方程問題的不可能性證明解答這個問題的不可能性.這樣,就要求助于代數!

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