我國古代幾何學不僅有悠久的歷史，豐富的內容，重大的成就，而且有一個具有我國自己的獨特風格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。這一幾何體系的全貌還有待于發掘清理，本文僅就出入相補原理這一局部方面，就所知提出幾點，主要根據是流傳至今的以下各經典著作：

《周髀算經》（簡稱《周髀》），

《九章算術》（簡稱《九章》），

劉徽《九章算術注》（簡稱《劉注》），

《海島算經》（簡稱《海島》），

趙爽《日高圖說》和《勾股圓方圖說》（簡稱《日高說》和《勾股說》）。

田畝丈量和天文觀測是我國幾何學的主要起源，這和外國沒有什么不同，二者導出面積問題和勾股測量問題。稍后的計算容器容積、土建工程又導出體積問題。

我國古代幾何學的特色之一是，依據這些方面的經驗成果，總結提高成一個簡單明白、看起來似乎極不足道的一般原理──出入相補原理，并且把它應用到形形色色多種多樣的不同問題上去。

以下將列舉這些不同的應用。

簡單應用和比例理論

所謂出入相補原理，用現代語言來說，就是指這樣的明顯事實：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關系。立體的情形也是這樣。

應用這一原理，容易得出三角形面積等于高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡單實例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相補原理有：

Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面積相等）

由此得

PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……

而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……

因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……

就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應勾股成比例。并且可以導出其他相應部分的比例關系。

以上這些極簡單的結果雖然沒有在《九章》中明白說出，但是曾經多處用這些關系來解決各種具體問題，參看《劉注》。

測望術和重差理論

在《周髀》中，就有用兩表測日影以求日高的方法，計算的公式是：

見上圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后兩表，DH和FI是日影�！逗�島》改測日高為測海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，于是日高公式成為：

劉徽證明和所用的圖都已經失傳，但是據現存《日高說》和殘圖以及其他佐證，原證當大致如下：

由出入相補原理，得

□JG＝□GB，（1）

□KE＝□EB，（2）

相減得 □JG－□KE＝□GD，

所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，

即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。

這就得到上述公式。

按《海島》共九題都屬測望之類，所得公式分母上都有兩測的差，“重差”這一名稱可能由此而來。其余八題公式都可依出入相補原理用和上面類似的方法證明，現在從略。

元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類似的幾個題，朱世杰對這些題的解法應該有古代相傳下來的一定來歷。依據朱對海島一題的解法，我們認為原證比上面所示的可能稍復雜一些。如下圖，現在重作證明如下：

由出入相補原理，除（1）、（2）外又有

□PG＝□GD，（3）

由（1）、（2）、（3）得

□JN＝□EB＝□KE，

所以MI＝DH，（4）

FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。

由（3）式就得到海島公式。

如果依照歐幾里得幾何體系的習慣證法，那就自然應該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數學史家大都依這一方法補作海島公式的證明，這當然不是劉徽的原意，也和我國古代幾何的傳統相違背。注意作平行線的時候應有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。

明末耶穌會傳教士利瑪竇（1552—1610）來我國，他的主要學術工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測量法義》一書，其中載有和海島題完全類似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點M使（4）式成立，再用比例理論作證，見本頁上圖。按常理來說，利瑪竇應該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國古代傳統不謀而合，頗使人迷惑不解�，F在提出這一問題，希望大家共同探討。

勾股定理

在《周髀》和《九章》中，都已經明確給出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據《勾股說》以及《劉注》，都依出入相補原理證明，并且有遺留到現在可以用來作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應該大致如下：

如下圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。

歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現這一定理，而在整個《幾何原本》中幾乎沒有用到。而在我國，勾股定理在《九章》中已經有多種多樣的應用，成為兩千來年數學發展的一個重要出發點，參閱以下各節和文末附表。

在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。

勾、股、弦和它們的和差互求

勾、股、弦和它們之間的和差共九個數，只須知道其中的二個就可以求得其他幾個。

除勾、股、弦互求就是開平方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問題：

第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；

第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；

第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；

第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。

各題都列出了一般公式，《勾股說》的許多命題也屬這一類，《劉注》還給出了證明，公式的來歷和證明的方法都依據出入相補原理，有的也用比例原理作別證。

試以勾股章第十三折竹題為例。題設竹高已知，竹在某處折斷，竹梢著地，著地處和竹根距離也已知。求折斷處的高度，見上圖。如果以竹梢著地處和竹根的距離作為勾，就是從股弦和、勾求股的問題，《九章》原文給出的公式是：

股弦差＝勾2/股弦和，

《劉注》又給出了另一公式：

為了證明前一公式，可以考慮上圖，其中正方形ABCD和AEFG的邊各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面積應該等于勾2�，F在把□FD如圖移到□CH，那么依出入相補原理，□BH的面積是勾2，而它的邊長各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。

另一公式的劉徽證明也相類似。試考察下圖，其中右下角曲尺部分的面積依勾股定理等于勾2，所以粗黑線圍成部分的面積等于股弦和2－勾2。把長方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相補原理，這一面積是斜線部分面積的兩倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。

秦九韶公式

秦九韶《數書九章》中有一題是已知不等邊三角形田地三邊的長（稱大斜、中斜、小斜，以下簡記為大、中、小），求田地面積。秦九韶的解法相當于下面的一般公式：

秦的公式來歷不明，證明也失傳了。

現在補作一證如下：

作大斜上的高分大斜成兩部分，作為勾股形的股和弦，見上圖。由
　　

求高，或怎樣求股。由于

股弦和＝大，

勾2＝弦2－股2＝中2－小2，

所以問題歸結為怎樣從股弦和、勾求股。

依上節的劉徽公式，得

由此就得到秦的公式。

按秦公式的形式十分古怪，當是依某種思路自然引導到這一形式的。

上面的證法頗為自然，也符合我國古代幾何的傳統特色，說它是原證，也是不無可能的。

在西方有所謂海倫公式（a、b、c是三角形三邊的長）：

三角形面積＝

這一公式形式十分漂亮。正因為這樣，如果已知海倫公式而再來推出秦的公式，將是不可思議的。相反，從秦的公式化簡成海倫的公式，卻是比較自然的發展。

據此我們至少可以斷言，秦的公式是獨立于海倫公式而得來的。

關于海倫的生平，從公元前二世紀到公元后十世紀以后，數學史家聚訟紛紜。至于海倫留傳到現在的著作，也已經人指出，歷代都經過重新編纂，有所增改，已經不是本來面目。這是熟悉希臘數學史的應予澄清的事，這里就不考慮了。

開平、立方

從勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再開平方就得弦。因而勾股定理的應用自然導致開平方的問題。

事實上，《周髀》中已經給出了若干具體數目的平方根，而在《九章》中，更詳細說明了開平方的具體方法步驟。這一方法的根據是幾何的，就是出入相補原理。

試以求55225的平方根為例。這相當于已知正方形ABCD的面積是55225，求邊AB的長，見上圖。按我國記數用十進位位值制。因AB顯然是一個百位數，所以求AB的方法就是依次求出百位數字、十位數字和個位數字。先估計（《九章》中用“議”字）百位數字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面積是55225－2002＝15225。其次估計十位數字是3，在EB上截取EH＝30，并且補成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以從ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面積是

15225－（2×30×200＋302）＝2325。

現在再估計個位數字是5，在HB上截取HK＝5，并補作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面積和前同法應該是

2325－（2×5×230＋522）＝0。

由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。

求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進行分解，比平方根求法稍復雜，所依據的仍是出入相補原理，這在《九章》中也有詳細敘述。

我國開平立方法來源很古，它的幾何本質十分清晰，而且方法上可以看出我國獨有而世界古代其他民族所無的位值制記數法的高度優越性。不僅這樣，至遲到十一世紀中葉，我國就已經把開平立方法推廣到開任何高次冪，就是所謂“增乘開方法”，并且出現了有關的二項式定理系數表，就是所謂“開方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來，如果說當時我國數學家已經有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無根據的。

解二次方程

在開平方的過程中，曾經出現像第84頁下圖中黑線部分那樣的圖形，其中2×EF稱定法。開平方在求得AE以后，其次幾步在于從曲尺形EBCDGF的已知面積求得EB�，F在把□DF移到□CH，那么依出入相補原理，□BH面積已知，此外□BH的兩邊EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知數值。因而求EB的問題可以轉化為下面的問題：

（A）已知一長方形（□BH）的面積、長闊差，求長闊。

反過來，這一問題的解法，可依開平方中第二步以下的方法求得，稱為“開帶從平方”。這在《九章》以來是用下面的語句來表達的。

（B）“以‘長方形面積’為實，‘長闊差’為從法，開方除之，得‘闊’”。

以上“從法”一名，當來自開平方過程中的“定法”，“開方”一詞也說明了它的來歷。

下面的例取自《九章》，見下圖。圖中ABCD是一方城，出北門北行若干步到G有木，出南門南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見木G，問題是求方城每邊的長。據《劉注》的方法是依出入相補原理得

□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。

□EJ的長闊差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”為實，以“南步＋北步”為從法，開平方除之，得EI，也就是方城邊長。

不僅應用開平方法可得問題（A）的數值解，而且應用出入相補原理，還可以求得解答的精確表達式。如果以長方形的闊作為勾，長作為股，那么問題（A）相當于：

（C）已知勾股積、勾股差，求勾、股。

為此考趙爽殘圖如附圖。圖中大小兩正方形的邊長各是勾股和、勾股差，所以得

勾股和2＝4×勾股積＋勾股差2。

由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閱《勾股說》的末一命題。

宋元時期明確引入了未知數的概念。如果以X（當時稱為天元一）表長方形闊，那么問題（A）相當于解一個二次方程

x2+ax=b，

其中a相當于從法，b相當于實。所以在古代實質上已經給出了這一形式二次方程（a，b都是正數）的近似解和精確解，前者在宋元時期發展為求任意高次方程的數值解法，后者雖文獻散佚不可查考，但是據唐初王孝通的著作以及史書關于祖沖之的引述看來，不能排除我國曾經對三次方程用幾何方法求得精確表達式的可能性。

在其他各國，公元九世紀的時候，阿拉伯數學家花刺子模（約780—約850）的代數學名著中列舉了各種類型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實質和出入相補原理頗相類似。公元十六世紀，意大利數學家關于三次方程的解法，也完全是幾何的。

體積理論和劉徽原理

如果規定長方形的面積是長闊的積，那么依據出入相補原理，容易得到：

由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規定長方體的體積是長、廣、深的積，是否依據出入相補原理，可以推得

由此以建立多面體的體積理論，就不是那么明顯而是極其困難的問題。歐洲直到十九世紀末，才把它作為一個難題明確地提了出來。公元1900年德國數學家希耳伯特（1862—1943）在國際數學會上所作著名講演中，把體積理論列為二十三個問題之一。這一問題立即為德恩（1878—1952）所解決，答案是否定的：兩個多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以后直到1965年，一位瑞士數學家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問題決不能認為已經徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數學家研討的課題。德恩條件敘述復雜，也難認為是合宜的最后形式。

在這種情勢下，看看中國古代對這一問題的處理方式是不無有啟發性的。

《九章》以至《劉注》解決體積問題的出發點是把一般的多面體分解為一些基本的立體。先把一長方體斜剖為二，如下圖（1），得兩塹堵（塹堵是兩底面是直角三角形的正柱體）。再把塹堵斜剖為二，如上圖（2）；一個是陽馬（陽馬是直角四棱錐體），如上圖（3）；一個是鱉?（鱉?是四面都是勾股形的四面體），如上圖（4）。其中鱉?的特征是AB和平面BFG垂直，FG和平面ABF垂直。由于任一多面體可以分割為四面體，而任一四面體可以分割為六個鱉?，如下圖，所以問題歸結為求鱉?（以及陽馬）的體積。依劉徽原話，就是所謂陽馬、鱉?，“功實之主也�！�

其次的問題是怎樣求得陽馬和鱉?的體積。如果長方體成為立方體，那么分解所得的陽馬的體積是鱉?的兩倍。劉徽作了長篇的分析，得出結論是：這個論斷普遍成立。用劉的原話是：“陽馬居二，鱉?居一，不易之率也�！蔽覀儼阉�稱作：

劉徽原理 斜解一長方體，所得陽馬和鱉?的體積的比恒是二比一。

從這一原理容易得到鱉?和陽馬的體積公式。由此又容易得到（2）式，因而整個多面體的體積理論可奠基于劉徽以及出入相補這兩個原理之上。

劉徽對他的原理有詳細的分析說明，實際上就是這一原理的證明。按希耳伯特和他的后繼者的研究指出，體積理論和面積理論不同，出入相補原理之外，必須輔以連續一類公理。也有人（例如沙頓諾斯基，1903年）提出排除連續公理，直接應用（2）式作為建立體積理論的基礎。但是這樣就要先證明（2）式中高和底面積的乘積凡四都彼此相等，這既不明顯也不簡單，似不如劉徽原理和出入相補原理的顯豁自然。

總之，多面體的體積理論到現在還余蘊未盡，估計中國古代幾何中的思想和方法或許對進一步的探討還不無幫助。

羨除公式

《九章》中列舉了各種多面體的體積，依據的就是出入相補原理和陽馬、鱉?公式�，F在以羨除即隧道（羨除是三個側面不是長方形而是梯形的楔形體，見上圖）為例，圖中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整個隧道依剖面IJK對稱。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的長，CD、EF、AB各稱上廣、下廣、末廣�！毒耪隆方o出的公式是：

《劉注》的證法是先把羨除分解，如在上圖中CD＞AB＞EF的情形，分解成一個塹堵EFGHLM，兩個小鱉?AGEL和BHFM，兩個不正規大鱉?ACEG和BDFH，再應用塹堵、鱉?公式和上一節公式（2），就得到這一公式。這一方法在《九章》中用來求得例如芻甍（楔形體）、芻童、盤池、冥谷（是各種棱臺）等多面體的體積公式。

如果依IJK剖面取羨除的一半，所得IJKACE如下圖是一斜截直柱體，是把一個以勾股形為底面的直柱體斜截而成，它的體積是三高平均值和底面面積的積。因由任意曲面所圍成的立體可以看作近似地由這樣的斜截直柱體構成，所以據此可以得出函數f（x，y）的積分近似公式，猶之微積分中求曲線下面積的辛普森積分近似公式。因而羨除公式具有重要意義。

在西方，斜截直柱體的體積公式最早見于1794年勒讓德（1752—1833）所著《幾何原理》一書，因此也稱為勒讓德公式。按勒讓德的書是從歐幾里得《幾何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有關公式的證明同樣依據四面體體積公式，但是它的分解方法和《劉注》不同。

此外某些多面體西方也有不同的分解法和證法，不妨中外參照，加以比較。

球體積和祖?原理

從《九章》到《劉注》，我國對多面體的體積已經建立了相當完整的理論體系。但是對于曲面圍成的立體，特別是球的體積問題，卻遇到了困難。

這一球體積問題，直到南北朝時期祖?才完全解決，為此并且提出了所謂

祖?原理 冪勢既同，則積不容異。

這一原理在公元十七世紀由意大利數學家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重見于歐洲，成為微積分得以創立的關鍵性的一步。

祖?關于球體積公式的證明見于《九章》的唐李淳風注，論證極其詳細清晰。證明分三步：

第一，在一立方體中依兩不同方向作兩內切圓柱體，它的共同部分稱“牟
　　

棋”。依祖?原理可得：

　　高處截面積的和跟陽馬同高處的截面積相等。

第三，再應用祖?原理，知三外棋體積的和跟陽馬體積相等。

由陽馬的體積公式，就可從上述三步得球體積公式。

按牟合方蓋是劉徽所引入的，第一步的結果實質上也已經為劉徽所求得。事實上，在《劉注》中，他已經多次應用了祖?原理來求曲面圍成立體的體積，例如從方堡?（長方體）求圓堡?（圓柱），從方錐求圓錐，從方亭（正方臺）求圓亭（圓臺），都已經使用這方法。祖?的功績，不僅在于具體求出了牟合方蓋因而求出球的體積，更在于把實際上已知并且已經廣泛應用的實踐經驗總結提高到一般原理的形式。是否應該把祖?原理改稱為劉祖原理，是可以商討的。

從祖?原理可以立即得出前面講到的劉徽原理，因而多面體的體積理論也可以建立在出入相補原理和祖?原理這兩個淺顯易明的基本原理之上。在歐洲，直到希耳伯特的《幾何基礎》問世以后，二十世紀初年，才有人（例如緒思）考慮依卡瓦列里原理以建立體積理論的問題。

其 他

《九章》中有豐富的幾何學內容，即使局限于出入相補原理，除了已經見于前面各節的以外，也還有一些成果為我國數學以后發展的重要出發點。例如所謂勾股容圓問題，在李冶的《測圓海鏡》中已經有了很大的發展。又如前面提到過的所謂方城問題，在秦九韶、李冶等的著作中已經把方城改成了圓城，就是舊有方法所不能解的。為此宋元時期創立了所謂天元術一類新的理論和方法，不僅可以用來解決許多新問題，對老的問題（所謂古問）也提供了新的有力工具，和老的方法（所謂古法）相比可以“省功數倍”。這些新理論新方法的實質在于幾何的代數化，乃是解析幾何的前奏，也是近代代數學的前驅。

總 結

出入相補、劉徽、祖?等一般原理的建立，說明我國古代學者具有高度的抽象概括能力，善于在深入廣泛的實踐基礎上往高里提。這些原理之簡單易明正可和它們應用之廣互相輝映。這是我國古代數學的一種獨特風格，著重在問題的解決以及解決的一般方法和一般原理原則，同樣的風格也可見之于幾何的代數化、位值制記數法等等。這和西方數學之偏重于概念和概念之間的相互邏輯關系，是異其旨趣的。

我國數學經典著作散佚的多而保存的少，就像祖?原理，也只靠李淳風一注才得以留傳下來。像這一類重要成果而失傳無從查考的，當不在少數。盡管如此，只從留傳至今的典籍看來，我國數學的生產實踐方面的淵源和發展演變的線索，仍舊很分明，參見下頁兩個附表。

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaozhong/195236.html

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