摘　要：函數概念教學是高中教學的難點，基于APOS理論的教學設計有利于學生形成函數概念，并在同化和順應基礎上形成函數概念圖式。

 

關鍵詞：APOS；函數；概念

 

一、 概念同化教學與APOS 理論

 

高中新課程實行已經有四年多了，然而目前，相當多教師仍然采取傳統的概念同化教學方式，其教學步驟為[1]：（1）揭示概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進行特殊分類，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進行簡單的識別活動；（4）概念的應用與聯系，用概念解決問題，并建立所學概念與其它概念間的聯系。

 

這種教學方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數學概念，只能靠死記硬背。事實上，概念的同化教學對幫助學生構建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因為心理意義是不能傳授的，必需由學生自我構建，不能由教師代替學生操作、思考、體驗。

 

美國數學教育學家 Ed.Dubinsky認為：一個人是不可能直接學習到數學概念的，更確切地說,人們透過心智結構（mental structure）使所學的數學概念產生意義。如果一個人對于給予的數學概念擁有適當的心智結構，那么他幾乎自然就學到了這個概念。反之，如果他無法建立起適當的心智結構，那么他學習數學概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認為，學生學習數學概念就是要建構心智結構，這一建構過程要經歷以下4個階段[2]：

 

 

二、基于APOS理論的函數教學設計

 

從數學教育的研究內容來看，關于代數內容已經逐漸從以解方程為中心轉到以研究函數為中心了[3]。函數概念已經成為中學數學中最為重要的概念之一。 函數概念本身不好理解。國外關于函數教學的研究表明了這一點——斯法德調查了60 名16 歲和18 歲的學生，結論是大多數學生認為函數的概念是個過程而不是靜止的結構。中國學者也進行了相關的研究，見文獻[4].

 

可見，函數確實成了中學數學中最難教、最難學的概念之一。函數的教學在我國設置成螺旋式的教學，初中是用運動變化的觀點對函數進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數概念的本質。例如，對于函數如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但如果用集合與對應的觀點來解釋，就十分自然。筆者在浙江省義烏市第三中學陳向陽老師設計的《函數的概念》基礎上進行思考，嘗試用APOS理論來設計高中函數概念的教學。

 

（一）創設問題情境，引出課題

 

教師提出問題1：

 

我們在初中學習過函數的概念，它是如何定義的呢？在初中已經學過哪些函數？（在學生回答的基礎上出示投影）

 

我們已經學習了一些具體的函數，那么為什么還要學習函數呢？先請同學們思考下面的問題：

 

問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數？函數y=x與函數表示同一個函數嗎？

 

學生思考、討論后，教師點撥：僅用上述函數概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認識函數概念。

 

（二）生活實例演示，操作練習[活動（A）]

 

問題3：下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事．

 

 

(1)我離開家不久，發現自己把作業本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業本再上學；

 

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

 

(3)我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速．

 

活動小結：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的距離與它對應。

 

（三）借助信息技術，討論歸納[過程（P）]

 

師：（實例1）演示動畫，用《幾何畫板》動態地顯示炮彈高度關于炮彈發射時間的函數。啟發學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在的變化范圍內，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應。

 

生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

 

師：（實例2）引導學生看圖，并啟發：在的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應。

 

生：動手測量，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

 

師生：（實例3）共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

 

（四）從特殊到一般，引出函數概念[對象（O）]

 

問題4：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點？

 

生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數定義，并在全班交流。

 

師生：由學生概括，教師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描述為：

 

對于數集中的每一個，按照某種對應關系，在數集中都有唯一確定的與它對應，記作

 

教師強調指出“”僅僅是數學符號。為了更好地理解函數符號的含義，教師提出下一個問題：

 

問題5：一定就是函數的解析式嗎？

 

師生：函數的解析式、圖象、表格都是表示函數的方法。

 

問題6：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢？（在學生回答的基礎上教師歸納總結）

 

補充練習：下列圖象中不能作為函數的圖象的是（   ）

 

 

例1．已知函數，

 

（1）求函數、的定義域；（2）求的值；（3）當時，求的值。（4）求（5）求

 

讓學生思考，并提問個別學生。

 

師問：怎樣求函數的定義域？

 

追問：與有何區別與聯系？

 

點撥：表示當自變量時函數的值，是一個常量，而是自變量的函數，它是一個變量，是的一個特殊值。

 

追問：如何求，又如何求一般情況的？

 

具體地，可以將2帶入函數求出具體值，再代入求出函數值。

 

對于抽象的，應該將看成一個整體，帶入的解析式，求出的解析式。

 

問題7：函數的三要素是什么？

 

教師引導學生歸納總結：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。

 

追問：如何判斷兩個函數是否相同？

 

以學生已解決的問題出發創設情境，引起學生的學習興趣，再次引發學生在構建自身基礎上的“再創造”，并通過獨立思考后的討論，培養學生分析解決問題、用數學語言交流溝通的能力。

 

例2．下列函數中哪個與函數相等？

 

（1） （2）（3）  （4）

 

師問：判斷函數相等的依據是什么？

 

變式：若改（2）為呢？

 

思考：你能舉出一些函數相等的具體例子嗎？

 

啟發并引導學生思考、討論、交流，教師歸納總結出函數的要點：

 

1．函數是一種特殊的對應——非空數集到非空數集的對應；

 

2．函數的核心是對應法則，通常用記號表示函數的對應法則，在不同的函數中，的具體含義不一樣。函數記號表明，對于定義域的任意一個在“對應法則”的作用下，即在中可得唯一的. 當在定義域中取一個確定的，對應的函數值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應；值域；

 

3．函數符號的說明：

 

（1）“”即為“是的函數”的符號表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）與是不同的，通常，表示函數當時的函數值；（4）在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號表示不同的函數，除用符號外，還常用、、等符號來表示。

 

4．定義域是函數的重要組成部分，如與是不同的兩個函數。

 

（五）借助熟悉的函數，加深對函數概念的理解[圖式（S）]

 

問題8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應，如何表示這個函數？定義域和值域各是什么？函數呢？函數呢？

 

教師演示動畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數的動態圖象，啟發學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表：

 

函數

一次函數

反比例函數

二次函數

對應關系

 

 

 a＞0

 a＜0

定義域

 

 

 

 

值域

 

 

 

 

 

 

用函數的定義去解釋學過的一次函數、反比例函數、二次函數，使得對函數的描述性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術工具畫出函數的圖象，是讓學生進一步體會“數”與“形”結合在理解函數中的作用，更好地幫助理解上述函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的聯系。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養學生深層次思考問題的習慣。

 

（六）再創情境，引導探究函數概念的新認識[圖式（S）]

 

問題9：比較函數的近代定義與傳統定義（即初中課本函數的定義）的異同點，你對函數有什么新的認識？

 

學生思考、討論，教師點撥：函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。

 

 

問題10：學生在前面學習的基礎上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談談自己的認識。教師啟發、引導學生畫圖，以形求數。

 

師生：是函數；與不是同一個函數。

 

引導學生對問題2進行反思和總結，并將之一般化，利用數學語言來表達，培養學生反思問題、總結歸納的習慣和善于運用數學語言抽象所發現的結論的能力。

 

（七）舉例應用，深化目標[圖式（S）]

 

例3．已知函數

 

（1）畫出函數的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發現了什么結論？（4）求函數的值域。

 

為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數的性質（奇函數）作準備。

 

教師引導學生解決此題的關鍵點，并進行變式：

 

變式1：已知，① 當時，求函數的值域；② 當時，求函數的值域。

 

變式2：已知，① 當函數值域為時，求函數定義域；② 當函數值域為時，求函數定義域。

 

變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數.

 

變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

 

以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現梯度，使不同程度的學生都有發展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發學生的參與意識、創新意識，培養學生探究問題的能力，從而提升學生的思維品質。借助三個變式層層深入，是理論到實踐的升華，使概念深化、強化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用能力也就自然形成了。

 

（八）練習交流，反饋鞏固

 

以學生回答、板演的形式進行課堂練習，充分發揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節課的學習。

 

（九）學生歸納小結，教師評價

 

以同桌之間一人小結一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組討論，對本節課所學的內容進行自主小結，教師及時進行歸納總結：1．函數的近代定義與傳統定義的異同點；2．集合與函數的聯系、區別；3．函數的三要素；4．數形結合的思想。

 

三、幾點啟示

 

APOS理論對學生的函數概念的理解作出了分層分析，可以預測學生已經在多大程度上對性質作出了心理建構，從而推知學生對函數概念的掌握起點�；�于APOS理論的理念設計數學性質教學，實質是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現，有利于學生理解函數的概念。

 

教學中教師要關注數學本身的特點，更重要的是要關注課堂上學生的掌握概念的思維狀況，將數學知識和學生探究活動有機結合，要求教師要重視學生的學習活動，讓學生親身創設問題情境。數學教師要意識到：一個數學概念由“過程”到“對象”的建立, 有時既困難又漫長, 需要經過多次反復,循序漸進,螺旋上升, 直至學生真正理解,“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。

 

學生對于函數概念的認識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結合具體的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數完整的知識鏈。在往后的教學中要注意學生對知識的圖式的建立, 即加強知識間的聯系和應用,如在講解具體的指數函數、對數函數、冪函數時，可以以具體函數為載體，在一般函數概念的指導下對其性質進行研究，體現了“具體──抽象──具體”的過程，是函數概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應用后，可以與函數相結合，進行對比，從而加深對函數概念的理解，幫助學生在頭腦中建立起完整的數學知識的心理圖式。

 

當然，APOS 理論的四個階段并非一定體現在一堂數學課當中, 也不是每一課都必須遍歷四個階段, 它適用于數學概念在學生頭腦中建立的一段時期,并不局限于某一堂課。比如，函數圖式的形成是需要一個長期實踐與反思。有些學生需要在接觸了大量的具體的函數模型以后，甚至在學習了函數的復合、微分、積分以后，才能漸漸地實現從“過程”到“對象”的理解，再由“對象”到“圖式”的發展。作為老師，我們應該理解學生的實際，作為數學的學習過程，也是允許學生有折返的現象。

 

參考文獻：

 

①張耀，數學概念教學研究綜述[J]. 運程學院學報，2005，4（2）39-41.

 

②鮑建生, 周超, 數學學習的心理基礎和過程[M].上海教育出版社，2009.

 

③張奠宙, 張廣祥．中學代數研究[M]．北京：高等教育出版社，2006.

 

④濮安山, 史寧中, 從 APOS 理論看高中生對函數概念的理解[J]，數學教育學報，2007，5(2)，48-50.

 

作者簡介：吳潔華，女，2007.9～2011.6就讀于華南師范大學數學科學學院數學與應用數學(師范)專業，保送課程與教學論“4+2”研究生（現讀研究生一年級）。論文《矩陣最小多項式的求解及應用》發表于韓山師范學院學報2010年第6期。

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaozhong/215835.html

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