我們經常會在數學學習中碰到這樣那樣的特殊情況，都說一般包含特殊，但往往這些特殊情況卻成為我們的絆腳石，或許是因為他們太過于特殊，以至于我們經常忽略，也或許我們潛意識中認為他們的地位無關緊要。學習考試的過程中就因為忽略了他們而犯錯。在這一期的文章里，我將高中數學里那些“寵兒”總結總結，以便讓我們自己時刻注意。
1：集合
集合里的“寵兒”，自然就是空集，一個沒有任何元素的集合。作為從初中進入高中的第一章，僅僅是這一點就足以讓很多學生暈頭轉向，怎么也想不通為何“空集是任何集合的子集”這一性質。如果從子集的定義??如果對于任意的a∈A，都有a∈B，那么就稱A是B的子集??來說的話，根本不可能存在一個元素a∈A，條件就不可能成立，那又怎么使得結論成立？我在《淺談“空集是任何集合的子集”》一文里已經通過幾方面來解釋，詳情參考這篇文章。
2：函數
要說“函數”一節內容，其最容易忽視的當是常數函數，這是連接常量和變量之間的橋梁。其函數圖象屬于直線方程的范疇，也恰好說明一次函數是最基本的函數，一次函數里的y=x在函數領域里的位置，就好比數字1在實數乘法里的位置，反函數的符號之所以寫成原函數的“-1次方”，其實就包含著這么一點。而常數函數就應當是相當于實數加法里的0、等比數列里的常數列了。
3：指數對數
指數里最特殊的，要數00，這在中學看來是沒有意義的，而在極限理論看來，他之所以沒有意義是因為從不同的角度看它都有不同的取值：從0的任何次方等于0來看，他應該等于0，而從任何數的零次方都等于1來看，他又應該等于1。這種不確定性，在極限里就叫極限不存在，自然也就沒有了意義。更多內容請參考文章《0的0次方以及0/0》
同樣的道理，log11也是沒有意義的。
4：數列
數列這一部分重點介紹了等差和等比數列。等差數列的幾個公式當中倒沒有什么例外，但是等比數列就有??其求和公式分成q=1和q≠1兩種情況。雖然我們若從極限的角度，這兩種情況其實可以合二為一，但在中學階段，無疑需要大家分得很清楚。常數數列，實際上是等比數列和等差數列的橋梁，他包含了等差數列d=0的特殊情況，也包含了等比數列q=1的特殊情況，其地位很像函數里的常數函數和實數里的零，起著連接兩大不同領域的作用，卻也因此常被忽略。
5：向量
不用說，向量的“寵兒”，當然應該是零向量??一個沒有長度的向量，嚴格來說其方向應該是任意的，卻被規定與任意向量平行。這規定貌似和空集的規定很類似，那么又是為何要規定零向量與任意向量平行？一個簡單的解釋是，這種規定使得零向量其自身平行，從感覺上，相比于一個向量與其自身垂直來說，我們更樂意接受一個向量與其自身平行。當然還可以從平面向量基本定理的角度來考慮，詳情可以參考《為何規定零向量與任意向量平行？》一文。
當然，從更深層次的角度來說，這種規定是為了保持向量內部運算的封閉性。
6：三角函數
三角函數里要注意的，就是tanx，因為當x=90°+180°k時沒有意義。這也是我們經常犯錯的地方。
7：直線方程
直線方程的寵兒，本質上來說應該來自于三角函數。那就是當傾斜角等于90°的時候，順帶著傾斜角為0°的時候也跟著受寵。在解決任何有關斜率的問題時，都不要忘記斜率不存在的情況，就好像我們在研究任何涉及到子集的問題時，都不要忘記空集一樣。也正是因為他的存在，使得我們必須引入直線方程的一般式。這里有一個趣味問題問大家：既然y=kx+b不能表示所有的方程，為何在初中的時候卻沒有提出來？
8：圓的方程
圓的方程貌似沒有“寵兒”，如果非要說的話，大概單位圓用得比較多。不過如果我們從射影幾何的角度來考慮，那么直線和點都會成為圓的寵兒??點可以看做半徑為零的圓，直線可以看做半徑為無窮大的圓。這種關系在更高級的幾何中將得到展現，比如著名的“對偶原理”。
9：圓錐曲線
橢圓的“寵兒”是圓，這個不用說。雙曲線的“寵兒”，要數等軸雙曲線，因為他一不小心就和反比例函數扯上關系，具體可以參考文章《雙曲線和反比例函數》一文。若從圓錐曲線的最初起源??切割圓錐得到的截面來說，三種圓錐曲線都有著相同的退化產品??直線和點。你只需要將截面經過圓錐的頂點或是經過母線即可。
10：排列組合
排列組合一章內容，沒有什么特殊情況值得單獨提出。倒是里面引出的階乘概念值得一說。按照定義來說，n的階乘等于1×2×3×……×n，如果純粹是按照這個定義的話，0的階乘將是沒有意義的，但教材里面又再一次顯示出至高無上的本領??規定，他規定0的階乘等于1。我們的同學當然就只有接受的份兒了,實際上數學上的任何規定都不是隨意的，之所以有這樣的規定，是因為其他地方都需要這招“規定”，可以參考文章《為何規定0！=1？》。據此有人提出，應該將n!定義為n！=1×1×2×……×n，這樣就可以得到0！=1這個結論了。
大體來說，上面這些就是數學里面的“寵兒”了，有些比較煩人。也許還有一些被我遺漏，若有的話還希望各位朋友提出以方便我補充。理清這些容易讓人犯錯的盲點，以便自己隨時注意。（來源：學夫子數學博客）
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaozhong/613387.html
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