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2014年小學數學解題常見錯誤分析
　　分數、百分數應用題
　　分數、百分數應用題是小學數學較難學好的內容之一，小學生解題時容易把解法混淆，該用乘法解答的卻用除法解答，該用除法解答的卻用乘法解答。其次是在解答稍復雜的分數、百分數應用題時，難以找到題目中數量的對應關系。
　　正確辨認應用題中的“標準數”，這是解答分數、百分數應用題的關鍵。在確定“標準數”時，要特別注意分析應用題中含有“分率”或“百分率”的詞句。當正確地確定題中的“標準數”以后，就可以找出題中各個數量間的對應關系。
　　當確定了題中的數量對應關系以后，再看題中的已知條件是什么，要求的是什么，從而正確地選擇解法。
　�。�1）求一個數是另一個數的幾（百）分之幾的應用題
　　解答“求一個數是另一個數的幾（百）分之幾”的應用題，關鍵是要明確誰與誰比，被比的為標準量，然后用標準量作除數，求出商以后用分數或百分數表示出。
　　解答這類問題常見的錯誤是不能正確地確定誰是標準量，尤其有些題中，標準量并不明顯，因此，常常發生錯誤。
　　例 1 人民機床廠生產320臺機床，結果多生產了40臺。實際完成了的百分之幾？
　　[解]（320+40）÷320=360÷320
　　=1.125=112.5％。
　　答：實際完成了計劃的112.5％。
　　[常見錯誤]
　　320÷（320+40）
　　=320÷360
　　≈0.889=88.9％。
　　答：實際完成了計劃的88.9％。
　　例 2 育紅小學三月份支出電費40元，四月份支出電費32元，四月份支出的電費比三月份節省了百分之幾？
　　[解]（40-32）÷40
　　=8÷40=0.2=20％。
　　答：四月份比三月份節省了20％。
　　[常見錯誤]
　�。�1）（40-32）÷32　= 8÷32　=0.25=25％。
　　答：四月份比三月份節省了25％。
　　例 3 春光小學今年有學生840人，比去年增加40人，今年的學生人數比去年增加百分之幾？
　　[解]40÷（840-40）　= 40÷800 = 0.05 = 5％。
　　答：今年的學生人數比去年增加5％。
　　[常見錯誤]
　　（1）（840-40）÷840
　　=800÷840
　　≈0.952=95.2％。
　　答：今年的學生人數比去年增加95.2％。
　�。�2）（840-40）÷840
　　=800÷840
　　≈0.952=95.2％。1-95.2％=4.8％。
　　答：今年的學生人數比去年增加4.8％。
　　例 4 火炬童服廠九月上旬生產童服8085件，經檢驗有55件不合格。求這批童服的合格率。（百分號前面保留一位小數。）
　　[解]（8085-55）÷8085
　　=8030÷8085
　　≈0.993=99.3％。
　　答：這批童服的合格率是99.3％。
　　[常見錯誤]
　　55÷（8085-55）
　　=55÷8030
　　≈0.007=0.7％。
　　答：這批童服的合格率是0.7％。
　　[分析]
　　以上4個例題，都是屬于求一個數是另一個數的幾（百）分之幾的應用題，解答這類題的關鍵是找準“標準”量，而“標準”量是在比較中得的，如求甲數是乙數的幾（百）分之幾，則以乙數為“標準”，若求乙數是甲數的幾（百）分之幾，則以甲數為“標準”。學生在解題時，由于很難判定誰與誰比，所以常常出錯。如例1要求“實際完成了計劃的百分之幾”，而錯解中則恰恰弄反，求出了“計劃是實際完成的百分之幾”。例2中要求“四月份比三月節省百分之幾”，而錯解求的是“四月比三月節省的電費是四月份的百分之幾”。要避免出現這種錯誤，要對應用題中的特殊問句加以正確的理解。如例1的“完成了計劃的百分之幾”，這句問話的意思是完成數是計劃數的百分之幾。例2中所問“四月份支出的電費比三月份節省了百分之幾”，正確理解是“四月份比三月份節省的電費是三月份的百分之幾”。
　　例 3 的第二種錯解是學生經常出現的，它求的是“去年的學生人數比今年減少百分之幾”。用這種方法解題的學生總以為，“去年的學生人數比今年減少百分之幾”，就是“今年的學生人數比去年增加百分之幾”。其實這是不相等的，其理由和甲數比乙數多幾就是乙數比甲數少幾，但甲數比乙數多百分之幾，一般決不是乙數比甲數少百分之幾一樣。這種錯誤與學習整數求差的定勢影響有關，只要弄清了道理就不會犯這類錯誤了。
（2）求一個數的幾（百）分之幾是多少的應用題
　　求一個數的幾（百）分之幾是多少的應用題，題中已知一個具求它的幾（百）分之幾是多少，用乘法計算。
　　例 1 一種收錄機，原每臺售價450元，現在降價25％，價多少元？
　　[解] 450×（1-25％）
　　=450×0.75
　　=337.5（元）。
　　答：現在每臺售價337.5元。
　　[常見錯誤]
　　450×25％=112.5（元）。
　　答：現在每臺售價112.5元。
　　例 2 紅林鄉計劃今年造林800公頃，實際超過原計劃15％多少公頃？
　　[解]800×（1+15％）
　　=800×1.15
　　=920（公頃）。
　　答：實際造林920公頃。
　　[常見錯誤]
　　800×15％=120（公頃）。
　　答：實際造林120公頃。

　　從圖中可以看出，求的是還剩下幾分之幾是多少頁，這樣，就不致于出現錯解中的情況了。
　　
（3）已知一個數的幾（百）分之幾是多少，求這個數的應用題
　　已知一個數的幾（百）分之幾是多少，求這個數的應用題，解題時應先找出標準量，即“單位1”的量，然后設要求的數量為x，根據求一個數的幾（百）分之幾是多少（用乘法計算）列出方程求解，也可以直接用除法求出答案。
　　對于這一類應用題，極容易與求一個數的幾（百）分之幾是多少的應用題相混淆。
　　例 1 一種白布每米的價錢是3.6元，正好是一種花布價錢的8/9�；ú济棵椎膬r錢是多少元？
　　[解]設花布價錢每米為x元。

　　答：水的體積為237.6立方厘米。
　　例 3 小明身高144厘米，比小

　　已知一個數的幾（百）分之幾是多少，求這個數的應用題，由于題目的數量關系比較隱蔽，正確算式的算理不容易分析，且分析出又難弄懂，因此解答這類應用題學生極容易發生錯誤，其原因是找不準“單位1”的量，因此很難確定用乘法計算還是用除法計算。再說“甲數比乙數少幾分之幾”是否就是“乙數比甲數多幾分之幾”，一直模糊不清，因此小括號里究竟是用加法算還是用減法算始終拿不準。要能正確且順利地解答這類應用題，必須從題目的已知條件入手，加強分析，真正弄懂算式的

　　這里為什么都用除法算式，直接從算式本身去分析道理較抽象，若從已知兩因數的積和其中一個因數，求另一個因數必然用除法，若這樣去理解就容易掌握這個算法的算理了。

　　（4）較復雜的分數、百分數應用題
　　　　例 1 玩具廠原有職工128人，男職工人數占總數的25％，后又調進

[常見錯誤]

　　例 3 有一批貨物，分 3天運完。第一天運走30％，第二天比第一天多運走80噸，第三天比第二天多運走80噸。問這批貨物共有多少噸？
　　[解]（80+80×2）÷（1-30％×3）
　　=240÷（1-90％）
　　=240÷0.1
　　=2400（噸）。
　　答：這批貨物共有2400噸。
　　[常見錯誤]
　�。�80+80）÷（1-30％×3）
　　=160÷（1-90％）
　　=160÷0.1
　　=1600（噸）。
　　答：這批貨物共有1600噸。
　　[分析]
　　只有理解了題目的數量關系才能分析出錯解的原因。根據題意可作出下圖。

　　從圖中可以看出，三天除運走這批貨物的90％外，還多運了240噸，即這240噸貨物正好占這批貨物總量的10％，這樣很快地求得這批貨物的總量。然而上面錯解對第三天比第二天多運80噸。不能轉換成第三天比第一天多運160噸，而這種轉換一般容易忽略也較難理解。適當利用線段圖，可以較好地揭示這種數量關系的本質，防止出現上述錯誤。
　　例 4 師徒兩人加工一批零件，原計劃師傅加工零件的個數是徒弟的

這批零件共有多少個？

　　[分析]
　　很多復雜的應用題學生往往沒有真正弄清題目中的數量關系，而是采取瞎猜亂碰的作法去列式，這道題的錯解就是這樣。題中由于乙隊原有人數不知道，后又從甲隊調入若干人到乙隊，調入后的甲、乙隊人數也都不知道，這給學生解題帶了一定的困難。
　　對于較難解答的復雜應用題，我們一般采用一定辦法轉化條件，使之化難為易。這道題的一個特點是調入前后兩隊共有的人數是不變的（100人），

　　答：甲原有錢360元，乙原有錢490元。
　　[分析]
　　較復雜的分數、百分數應用題一般較難列式，就是列出算式，也不容易分析出算式的算理。題目已知甲乙二人共有錢數，若設甲原有錢數為1，如果能求出乙原有錢數是甲原有錢數的幾分之幾，則甲原有錢數可求出。根據題目的另外一個條件可作出下圖。

　　3÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
　　=3÷[0.48-0.45]×0.52
　　=3÷0.03×0.52
　　=52（人）。
　　答：育紅小學六年級現有男生52人。
　　[常見錯誤]
　�。�3+3）÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
　　=6÷[0.48-0.45]×0.52
　　=6÷0.03×0.52
　　=104（人）。
　　答：育紅小學六年級現有男生104人。
　　[分析]
　　由題目條件可知，轉走3名男生同時轉3名女生，因此全年級總人數沒有變，變化的只是男生人數與女生人數。要求現有男生多少人，只有先求出六年級學生總人數。從圖中可知，女生由于轉3人，使女生占總人數的百分率由1-55％=45％上升到48％，顯然總人數為3÷[48％-（1-55％）]，而現在的男生，占總人數的1-48％=52％，這樣就可以列出解答的算式。上面錯解的學生卻誤認為轉走3名又轉3名，這一進一出，兩者相差6人，由于對應分率的部分數找錯，因此求出的學生總數、男生人數都是正確答案的2倍。
　　必須指出的是如果從男生人數的改變以及男生人數所占學生總人數分率的變化求總人數，可列出本題的另一算式：
　　3÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
　　相對于這種解法也可以出現另一種錯誤算式：
　�。�3+3）÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
　　例 9 兩所小學的高年級學生共同參加表演團體操。甲校學生450人調出

　　[常見錯誤]
　　45016× ÷57
　　= 45017× ×56
　　=105（人）。
　　答：乙校原有學生105人
　　[分析]

　�。�5）工 程 問 題
　　工程問題實質是一個分數問題，題目中的工作總量一般不是具體的數量，因而常常用“單位1”表示。這樣，工程問題就是“單位1”與幾分之幾的關系問題。例如一件工程，甲20天完成乙25天完成，兩人合作，多少

　　例1 一項工程，甲隊單獨做要12天，乙隊單獨做要15天。甲隊先做3天后，余下的兩隊合做，還要多少天完成？

　　[常見錯誤]
　　例 3 一批零件，由甲車間加工，需 5小時完成，由乙車間加工，需 7小時完成。現由兩個車間合作2小時，還剩下198件沒有加工。求合作時間內乙車間加工零件多少件？
　　上面錯解中如果前面的算式是求出零件總數的話，仍舊是對的，但總數減去剩下的198件，只是甲、乙兩車間合作加工零件數，并不是乙車間2小時加工的零件數。
　　例 4 甲、乙兩個打字員要打一份稿件，甲單獨打要5小時完成，乙單獨打要4小時完成，甲乙合打若干小時后，甲因事離開，余下的乙用3小時打完。問打完這份稿件甲乙各打了幾小時？

　　甲打的時間實際上就是兩人合打的時間，乙打的時間則是比兩人合打的時間多3小時。
　　上面錯解在計算甲、乙兩人合打的時間時，把工作總量仍舊取作1，實際上這時的工作總量應除去乙單獨完成的剩余工作量，由于兩人合作的工作總量找錯，則由此計算的合打時間必然錯。
　　例 5 一個水池裝有甲、乙兩個進水管和一個出水管，單獨開甲管8分鐘可將空池注滿，單獨開乙管要10分鐘注滿，單獨開出水管5分鐘可把一池水放完。如果三管同時開放，多少時間可把空池注滿？

　　例 6 一輛載客汽車從甲城到乙城需要8小時，一輛裝貨汽車從乙城到甲城需7小時�？蛙噺募壮�、貨車從乙城同時相向而行，行了6小時，兩車相遇后又相距170千米。求甲乙兩城的距離。

　　[分析]
　　這是一道行程問題，解答過程既運用了有關工程問題的知識，又需要用到較復雜的分數應用題的有關知識。由題目的條件可知，甲城、乙城之間的

　　例 7 蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時，要排完一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需6小時，現在池內

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