新標——回歸教材
導數
1.導數的背景:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度.
典例:一物體的運動方程是 ,其中 的單位是米, 的單位是秒,那么物體在 時的瞬時速度為 5米/秒 .
2.導函數的概念:如果函數 在開區間 內可導,對于開區間 內的每一個 ,都對應著一個導數 ,這樣 在開區間 內構成一個新的函數,這一新的函數叫做 在開區間 內的導函數,記作 ,簡稱導數.
3.求 在 處的導數的步驟:(1)求函數的改變量 ;(2)求平均變化率 ;(3)取極限,得導數 .
4.導數的幾何意義:函數 在點 處的導數的幾何意義,就是曲線 在點 處的切線的斜率,即曲線 在點 處的切線的斜率是 ,相應地切線的方程是 .
特別提醒:(1)在求曲線的切線方程時,要注意區分所求切線是曲線上某點處的切線,還是過某點的切線:曲線上某點處的切線只有一條,而過某點的切線不一定只有一條,即使此點在曲線上也不一定只有一條;(2)在求過某一點的切線方程時,要首先判斷此點是在曲線上,還是不在曲線上,只有當此點在曲線上時,此點處的切線的斜率才是 .
典例:(1) 在曲線 上移動,在點 處的切線的傾斜角為 ,則 ;
(2)直線 是曲線 的一條切線,則實數 的值為 －3或1 ;
(3)若函數 ( 為常數)圖象上 處的切線與 的夾角為 ,則 點的橫坐標為 ;(數形結合,可知切線的傾斜角只能為0或900(舍去))
(4)曲線 在點 處的切線方程是 ;
(5)已知函數 ,又 的圖象與 軸交于 .
①求 的值;②求過點 的曲線 的切線方程（答:①1;② 或 ）.
5.導數的公式、法則:
(1)常數函數的導數為0,即 （ 為常數）;　
(2) ,與此有關的常用結論: ;
(3)
(4) ; ;
典例:(1)已知函數 的導數為 ,則 ;
(2)函數 的導數為 ;
(3)若對任意 , ,則 是 .
6.多項式函數的單調性:(1)多項式函數的導數與函數的單調性:
①若 ,則 為增函數;若 ,則 為減函數;若 恒成立,則 為常數函數;若 的符號不確定,則 不是單調函數.
②若函數 在區間 上單調遞增,則 ,反之等號不成立;若函數 在區間 上單調遞減,則 ,反之等號不成立.
典例:(1)函數 ,當 時, 的單調性是 增函數 ;
(2)設 函數 在 上單調函數,則實數 的取值范圍 ;
(3)已知函數 為常數）在區間 上單調遞增,且方程 的根都在區間 內,則 的取值范圍是 ;
(4)已知 , ,設 ,試問是否存在實數 ,使 在 上是減函數,并且在 上是增函數？（答: ）
(2)利用導數求函數單調區間的步驟:(1)求 ;(2)求方程 的根,設根為 ;(3) 將給定區間分成n+1個子區間,再在每一個子區間內判斷 的符號,由此確定每一子區間的單調性.
典例:設函數 在 處有極值,且 ,求 的單調區間.（答:遞增區間（－1,1）,遞減區間 ）
7、函數的極值:
(1)定義:設函數 在點 附近有定義,如果對 附近所有的點,都有 ,就說是 函數 的一個極大值.記作 ＝ ,如果對 附近所有的點,都有 ,就說是 函數 的一個極小值.記作 ＝ .極大值和極小值統稱為極值.
(2)求函數 在某個區間上的極值的步驟:（i）求導數 ;（ii）求方程 的根 ;（iii）檢查 在方程 的根 的左右的符號:“左正右負” 在 處取極大值;“左負右正” 在 處取極小值.
特別提醒:(1) 是極值點的充要條是 點兩側導數異號,而不僅是 ＝0, ＝0是 為極值點的必要而不充分條.(2)給出函數極大(小)值的條,一定要既考慮 ,又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化,否則條沒有用完,這一點一定要切記！
典例:(1)函數 的極值點是( C )
A、極大值點 B、極大值點 C、極小值點 D、極小值點 ;
(2)函數 處有極小值10,則a+b的值為 －7 ;
(3)已知 在區間[－1,2 ]上是減函數,那么b＋c有最 大 值 .
特別小結:三次函數 的極值情況.
記其導函數 的判別式為 ,其圖象對稱軸為 .則
(1)若 時,三次函數 無極值,
①當 時, , 在定義域上遞增;②當 時, , 在定義域上遞減.
(2) 若 時,記 的兩根為 ,則三次函數 有極值,且
①當 時, (簡稱為左大右小);
②當 時, (簡稱為左小右大);
綜上,三次函數 有極值的充要條為 .
(3)三次函數 都有對稱中心,其坐標為 .
典例:已知函數 有極值,則實數 的取值范圍是 ;
8.函數的最大值和最小值:
(1)定義:函數 在一閉區間上的最大值是此函數在此區間上的極大值與其端點值中的“最大值”;函數 在一閉區間上的最小值是此函數在此區間上的極小值與其端點值中的“最小值”.
(2)求函數 在[ ]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數 在 內的極值（極大值或極小值）;(2)將 的各極值與 , 比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.
典例:(1)函數 在[0,3]上的最大值、最小值分別是 ;
(2)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.
（答:高為1.2米時,容積最大為 ）
特別注意:(1)利用導數研究函數的單調性與最值（極值）時,要注意列表！
(2)要善于應用函數的導數,考察函數單調性、最值(極值),研究函數的性態,數形結合解決方程不等式等相關問題.
典例:(1) 是 的導函數, 的圖象如下圖所示,則 的圖象只可能是( D )

(2)圖形(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及
高為2和3的兩個矩形所構成，函數S＝S(a)(a≥0)是圖形
介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數
S(a)的圖象大致是 (　C　)

(3)方程 的實根的個數為 1 ;
(4)已知函數 ,拋物線 ,當 時,函數 的圖象在拋物線 的上方,求 的取值范圍（答: ）.
(5)求證: (構造函數法)

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