專題五 平面向量
【重點知識回顧】
向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既具有代數特征，又具有幾何特征，因此我們要借助于向量可以將某些代數問題轉化為幾何問題，又可將某些幾何問題轉化為代數問題，在復習中要體會向量的數形結合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關概念，如：共線向量、相等向量等，它關系到我們今后在解決一些相關問題時能否靈活應用的問題。這就要求我們在復習中應首先立足課本，打好基礎，形成清晰地知識結構，重點掌握相關概念、性質、運算公式 法則等，正確掌握這些是學好本專題的關鍵
在解決關于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質的認識，并體會用向量處理問題的優越性。二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步體會數形結合思想在解決數學問題上的作用。
在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應用，另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段，通過學習提高解決實際問題的能力
因此，在復習中，要注意分層復習，既要復習基礎知識，又要把向量知識與其它知識，如：曲線，數列，函數，三角等進行橫向聯系，以體現向量的工具性
平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
向量的坐標表示
. 平面向量的數量積
數量積的幾何意義：
（2）數量積的運算法則
【典型例題】
1.向量的概念、向量的運算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)?c=（ ）
A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b) ，(a+2b)?c ，選C
點評：本題考查向量與實數的積，注意積的結果還是一個向量，向量的加法運算，結果也是一個向量，還考查了向量的數量積，結果是一個數字
例2、(2008廣東文)已知平面向量 ，且 ∥ ，則 =（�。�
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由 ∥ ，得m＝－4，所以，
＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故選（C）。
點評：兩個向量平行，其實是一個向量是另一個向量的 倍，也是共線向量，注意運算的公式，容易與向量垂直的坐標運算混淆
例3．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若 = ， = ，試用 ， 將向量 ， ， ， 表示出來。
（1）解析：根據向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量 ， 來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可
因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構成平行四邊形ABCO，
所以 ， = ＋ ， = = + ，
由于A，B，O，F四點也構成平行四邊形ABOF，所以 = ＋ = + = + + =2 + ，
同樣在平行四邊形 BCDO中， ＝ ＝ ＝ ＋( ＋ )＝ ＋2 ， ＝ ＝ －
點評：其實在以A，B，C，D，E，F及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用 ， 表示，且可用規定其中任兩個向量為 ， ，另外任取兩點為起點和終點，也可用 ， 表示。
例4．已知 中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求 。
解析：設D(x,y)，則
∵
得
所以 。
2. 向量與三角函數的綜合問題
例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函數
(1)求 的最小正周期; (2)當 時, 若 求 的值．
解：(1) .
所以，T＝ .
(2) 由 得 ，
∵ ，∴ ∴ ∴
點評：向量與三角函數的綜合問題是當前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標形式給出與三角函數有關的條件，并結合簡單的向量運算，而考查的主體部分則是三角函數的恒等變換，以及解三角形等知識點.
例6、（2007山東文）在 中，角 的對邊分別為 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 ．
解：（1）
又 解得 ．
， 是銳角． ．
（2）由 ， ， ．
又 ． ．
． ．
點評：本題向量與解三角形的內容相結合，考查向量的數量積，余弦定理等內容。
3. 平面向量與函數問題的交匯
例7．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數的關系式k＝f(t)；
(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間
解：（1）法一：由題意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k?＝f?(t) ＝ t3－ ,
令k?＜0得－1＜t＜1；令k?＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調遞減區間是(－1, 1 )，單調遞增區間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[歸納] 第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用
[變式] 已知平面向量 ＝( ，－1)， ＝( ， )，若存在不為零的實數k和角α，使向量 ＝ ＋(sinα－3) , ＝－k ＋(sinα) ,且 ⊥ ，試求實數k 的取值范圍。
[點撥] 將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數綜合運用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k＝ ( sinα－ )2－ ,而－1≤sinα≤1,
∴當sinα＝－1時，k取最大值1； sinα＝1時，k取最小值－ .
又∵k≠0 ∴k的取值范圍為 .
4. 平面向量在平面幾何中的應用
例8、如圖在Rt ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問 與 的夾角 取何值時， 的值最大？并求出這個最大值
解：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系。設AB=c，AC=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且PQ=2a，BC=a.設點P的坐標為（x，y），則Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos .∴ =- a2+ a2cos .故當cos =1，即 =0（ 方向相同）時， 的值最大，其最大值為0.
點評：本題主要考查向量的概念，運算法則及函數的有關知識，平面向量與幾何問題的融合�？疾閷W生運用向量知識解決綜合問題的能力。
例9、已知A、B為拋物線 (p>0)上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，
（1）若 ，求拋物線的方程。
（2）CD是否恒存在一點K，使得
D K C
解：（1）提示：記A（ ）、B （ ）設直線AB方程為 代入拋物線方程得
（2）設線段AB中點P在在準線上的射影為T，
則
＝ － ＝ － ＝0
故存在點K即點T，使得
[實質：以AB為直徑的圓與準線相切]
[變式]（2004全國湖南文21）如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.設點P分有向線段 所成的比為 ，證明: ；
解：依題意，可設直線AB的方程為 代入拋物線方程 得
①
設A、B兩點的坐標分別是 、 、x2是方程①的兩根.
所以
由點P（0，m）分有向線段 所成的比為 ，
得
又點Q是點P關于原點的對稱點，
故點Q的坐標是（0，－m），從而 .
所以
【模擬演練】
一、選擇題
1．已知點M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點分有向線段M1M2的比為3：2，則的值為 （ ）
A． B． C． D．4
2．已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 =(2，0),向量 =（2，2），向量 =（ ），則向量 與向量 的夾角的范圍為 （ ）
A．［0， ］ B．［ ， ］ C．［ ， ］ D．［ ， ］
4．設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則 ? = （ ）
A． B． C．3 D．－3
5． O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 = +λ( )， ，則點P的軌跡一定通過△ABC的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
6．已知平面上直線l的方向向量e=（ , ），點O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分別是O/和A/，則 ，其中λ=（ ）
A． B． C．2 D．－2
7、 （ ）
A． B. C. D. 1
8、已知 ， ，則向量 與 （ ）
A.互相平行 B. 夾角為 C.夾角為 D.互相垂直
9、已知向量 的夾角是（ ）
A． B． C． D．
10、若向量 ， ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
11、已知非零向量 若 且 又知 則實數 的值為 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
12. 把函數y＝ 的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數解析式為
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
二、填空題
13．已知向量a、b的夾角為 ，a＝2，b＝1，則a＋ba－b的值是 .
14.已知M、N是△ABC的邊BC、CA上的點，且 ＝ , ＝ ,設 ＝ ， ＝ ，則 ＝ .
15. △ABC中， ,其中A、B、C是△ABC的三內角，則△ABC是 三角形。
16. 已知 為坐標原點，動點 滿足 ，其中 且 ，則 的軌跡方程為 .
三、解答題
17. 已知向量 ， .（1）若 ，試判斷 與 能否平行
（2）若 ，求函數 的最小值.
18. 設函數 ，其中向量 ， .
（1）求函數 的最大值和最小正周期；
（2）將函數 的圖像按向量 平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的 .
19. 如圖，△ABC的頂點A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ＝2ｒ，問：當P、Q取什么位置時， ? 有最大值?
20. 已知定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP至點N，且
（1）求動點N的軌跡方程；
（2）直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若 且4 ≤ ≤ ，求直線l的斜率的取值范圍
21. 已知點 是圓 上的一個動點，過點 作 軸于點 ，設 .
（1）求點 的軌跡方程；
（2）求向量 和 夾角的最大值，并求此時 點的坐標
22. 在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東 且與點A相距40 海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東 + (其中sin = ， )且與點A相距10 海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;
（2）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷
它是否會進入警戒水域，并說明理由.
專題訓練答案
一、選擇題
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B
11．D 12． A
二、填空題
13． 14. ；15.直角16.
三、解答題
17. 解：（1）若 與 平行，則有 ，因為 ， ，所以得 ，這與 相矛盾，故 與 不能平行.
（2）由于 ，又因為 ，所以 ， 于是 ，當 ，即 時取等號.故函數 的最小值等于 .
18．解：（1）由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ sin(2x+ ).
所以，f(x)的最大值為2+ ，最小正周期是 ＝ .
（2）由sin(2x+ )＝0得2x+ ＝k. ，即x＝ ,k∈Z，
于是d＝（ ，－2）， k∈Z.
因為k為整數，要使 最小，則只有k＝1，此時d＝（? ，?2）即為所求.
19. 解： ? ＝（ ）?（ ）
＝（ ）?（－ ）
＝－r2＋ ? ?
設∠BAC＝α，PA的延長線與BC的延長線相交于D，∠PDB＝θ，則
? ＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均為定值，
∴當cosθ＝1，即AP∥BC時， ? 有最大值.
20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)
（2）先證明l與x軸不垂直，再設l的方程為
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯立直線與拋物線方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由 ，得 .
又 故 而
解得直線l的斜率的取值范圍是
21. 解析：（1）設 ， ，則 ， ，
.
（2）設向量 與 的夾角為 ，則 ，
令 ，則 ，
當且僅當 時，即 點坐標為 時，等號成立.
22. 解: （I）如圖，AB=40 ，AC=10 ，
由于 ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為 （海里/小時）.
（2）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，
設點B、C的坐標分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC與x軸的交點為D.
由題設有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,
y2=ACsin
所以過點B、C的直線l的斜率k= ,直線l的方程為y=2x-40.
又點E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會進入警戒水域.
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