【知識圖解】
【方法點撥】
不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的性質是解、證不等式的基礎，兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理及其變形在不等式的證明和解決有關不等式的實際問題中發揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數的重要工具，不等式的概念和性質涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數、數列、三角函數、解析幾何、導數等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點.
1.掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。
2.一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系和相互轉化。
3.線性規劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優化方法之一又與人們日常生活密切相關，對于這部分內容應能用平面區域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規劃問題。同時注意數形結合的思想在線性規劃中的運用。
第1課 基本不等式
【考點導讀】
1.能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。
2.能用基本不等式解決綜合形較強的問題。
【基礎練習】
1.“a>b>0”是“ab< ”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)
2. 的最小值為
3.已知 ，且 ，則 的最大值為
4.已知 ，則 的最小值是2
【范例導析】
例1.已知 ，求函數 的最大值.
分析：由于 ，所以首先要調整符號.
解：∵ ∴
∴y=4x-2+ = ≤-2+3=1
當且僅當 ，即x=1時，上式成立，故當x=1時， .
例2.（1）已知a，b為正常數，x、y為正實數，且 ，求x+y的最小值。
（2） 已知 ，且 ，求 的最大值．
分析：問題（1）可以采用常數代換的方法也可以進行變量代換從而轉化為一元函數再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉化為關于 的不等式，也可以采用變量代換轉換為一元函數再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式： ≥ 當且僅當 ，即 時等號成立
法二：
由 得
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由 >0得y-b>0 ∴ x+y≥
當且僅當 ，即 時，等號成立
（2）法一：由 ，可得， ．
注意到 ．可得， ．
當且僅當 ，即 時等號成立，代入 中得 ，故 的最大值為18．
法二： ， ，
代入 中得：
解此不等式得 ．下面解法見解法一，下略．
點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數為一元函數，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決.
【反饋練習】
1.設a＞1,且 ,則 的大小關系為m＞p＞n
2.已知下列四個結論：
①若 則 ； ②若 ,則 ；
③若 則 ； ④若 則 。
其中正確的是④
3.已知不等式 對任意正實數 恒成立，則正實數 的最小值為6
4.（1）已知： ，且： ，求證： ，并且求等號成立的條件．
（2）設實數x，y滿足y+x2=0，0
證明：
等號成立
當且僅當 時．
由以上得
即當 時等號成立．
說明：本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式．
（2）∵ ≥ ，
≤ ，0
∴ ≤
第2課 一元二次不等式
【考點導讀】
1.會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數、方程之間的聯系和轉化。
2.能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題.
【基礎練習】
1.解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原不等式化為 ，解集為
（2）原不等式化為 ，解集為R
（3）原不等式化為 ，解集為
（4）由
得
點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數的符號、對應方程 的判斷、以及對應方程兩根大小的比較.
2. 函數 的定義域為
3..二次函數y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表：
x-3-2-101234
y60-4-6-6-406
則不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式 的解集是 ，則b=__-2____ c=__-3____.
【范例導析】
例.解關于ｘ的不等式
分析：本題可以轉化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.
解:原不等式等價于 ∵ ∴等價于：
（*）
a>１時，（*）式等價于 >0∵ <１∴x< 或x>２
a<１時，（*）式等價于 <0由２－ ＝ 知：
當0
綜上所述可知：當a<0時，原不等式的解集為（ ，2）；當a＝0時，原不等式的解集為φ；當0
思維點撥:含參數不等式,應選擇恰當的討論標準對所含字母分類討論,要做到不重不漏.
【反饋練習】
1.若關于x的不等式 的解集為R，則 的取值范圍是
2.不等式 解集為 ，則ab值分別為-12，-2
3.若函數f(x) = 的定義域為R，則 的取值范圍為
4.已知M是關于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 適合不等式故得 ，所以 ，或 .
若 ，則 ，∴ ，
此時不等式的解集是 ；
若 ，由 ，∴ ，
此時不等式的解集是 。
第3課 線性規劃
【考點導讀】
1.會在直角坐標系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應的區域，能由給定的平面區域確定所對應的二元一次不等式、二元一次不等式組.
2.能利用圖解法解決簡單的線性規劃問題，并從中體會線性規劃所體現的用幾何圖形研究代數問題的思想.
【基礎練習】
1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線 的兩側，則a的取值范圍是0
A B C D
3.下面給出四個點中，位于 表示的平面區域內的點是（ C�。�
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區域（不含邊界）用不等式表示為
5.在坐標平面上，不等式組 所表示的平面區域的面積為
【范例導析】
例1.設x,y滿足約束條件 ,求目標函數z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目標函數的最值，必須先畫出準確的可行域，然后把線性目標函數轉化為一族平行直線，這樣就把線性規劃問題轉化為一族平行直線與一平面區域有交點，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題.
解：先作出可行域，如圖所示中 的區域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1, )
作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移
當L0的平行線過B點時，可使z=6x+10y達到最小值
當L0的平行線過A點時，可使z=6x+10y達到最大值
所以zmin=16;zmax=50
點撥：幾個結論：(1)、線性目標函數的最大（�。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得。
（2）、求線性目標函數的最優解，要注意分析線性目標函數所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數。
例2.已知 ，
（1）求 的最大和最小值。
（2）求 的取值范圍。
（3） 求 的最大和最小值。
解析：注意目標函數是代表的幾何意義.
解：作出可行域。
（1） ，作一組平行線l： ，解方程組 得最優解B（3，1）， 。解 得最優解C（7，9），
（2） 表示可行域內的點（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得， ，又 ， 。
（3） 表示可行域內的點（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得， ，（OF為O到直線AB的距離）， 。 ， ， ， 。
點撥：關鍵要明確每一目標函數的幾何意義，從而將目標函數的最值問題轉化為某幾何量的取值范圍.
例3．本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為 元/分鐘和200元/分鐘，規定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
分析：本例是線性規劃的實際應用題，其解題步驟是：（1）設出變量，列出約束條件及目標函數；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系 的運動，求出目標函數的最值.
解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為 元，由題意得
目標函數為 ．
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域．
如圖：
作直線 ，
即 ．
平移直線 ，從圖中可知，當直線 過 點時，目標函數取得最大值．
聯立 解得 ．
點 的坐標為 ．
（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
【反饋練習】
1.不等式組 表示的平面區域是一個三角形，則 的取值范圍是
2.已知點P（x，y）在不等式組 表示的平面區域上運動，則z＝x－y的取值范圍是[－1，2]
3.設 、 滿足約束條件 則使得目標函數 的最大的點 是（2,3）．
4.已知實數 滿足 則 的取值范圍是
5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區域（包括各邊），寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區域；②寫所畫區域的代數表達式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數的最值
解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區域為所求△ABC區域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內取一點P（1，1），
分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求區域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x－ t過A（3，－1）時，縱截距－ t最小 此時t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當直線y= x－ t經過點B（－1，1）時，縱截距－ t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
。
第4課 不等式綜合
【考點導讀】
能利用不等式性質、定理、不等式解法及證明解決有關數學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優化問題等.
【基礎練習】
1.若函數 ，則 與 的大小關系是
2.函數 在區間 上恒為正，則 的取值范圍是0＜a＜2
3.當點 在直線 上移動時， 的最小值是7
4.對于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1
【范例導析】
例1、已知集合 ，函數 的定義域為Q
（1）若 ，求實數a的取值范圍。
（2）若方程 在 內有解，求實數a的取值范圍。
分析：問題（1）可轉化為 在 內有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構造函數角度分析，亦可以采用分離參數.
解：（1）若 ， 在 內有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
（2）方程 在 內有解， 則 在 內有解。
當 時，
所以 時， 在 內有解
點撥：本題用的是參數分離的思想.
例2.甲、乙兩地相距 ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過 ，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 的平方成正比，且比例系數為 ；固定部分為 元．
（1）把全程運輸成本 元表示為速度 的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：需由實際問題構造函數模型，轉化為函數問題求解
解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為 ，全程運輸成本為
．故所求函數為 ，定義域為 ．
（2）由于 都為正數，
故有 ，即 ．
當且僅當 ，即 時上式中等號成立．
若 時，則 時，全程運輸成本 最��；
當 ，易證 ，函數 單調遞減，即 時， ．
綜上可知，為使全程運輸成本 最小，
在 時，行駛速度應為 ；
在 時，行駛速度應為 ．
點撥：本題主要考查建立函數關系式、不等式性質（公式）的應用．也是綜合應用數學知識、思想和方法解決實際問題的一道優秀試題．
【反饋練習】
1.設 ，函數 ，則使 的 的取值范圍是
2.如果函數 的單調遞增區間是(-∞，a]，那么實數a的取值范圍是____ a<-1____
3.若關于 的不等式 對任意 恒成立，則實數 的取值范圍為
4已知二次函數f (x)= ,設方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數f (x)的對稱軸為x=x0，求證：x0＞—1．
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/58612.html
相關閱讀：2012屆高考數學三角函數知識導航復習教案
高三數學理科復習：函數解析式
集合與簡易邏輯
高中數學競賽標準教材(第十章直線與圓的方程)
2012屆高考數學知識算法初步與框圖復習講義