一、基礎知識
定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素 在集合A中，稱 屬于A，記為 ，否則稱 不屬于A，記作 。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用 來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如{有理數}， 分別表示有理數集和正實數集。
定義2 子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為 ，例如 。規定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。
定義3 交集，
定義4 并集，
定義5 補集，若 稱為A在I中的補集。
定義6 差集， 。
定義7 集合 記作開區間 ，集合
記作閉區間 ，R記作
定理1 集合的性質：對任意集合A，B，C，有：
（1） （2） ；
（3） （4）
【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。
（1）若 ，則 ，且 或 ，所以 或 ，即 ；反之， ，則 或 ，即 且 或 ，即 且 ，即
（3）若 ，則 或 ，所以 或 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，反之也有
定理2 加法原理：做一件事有 類辦法，第一類辦法中有 種不同的方法，第二類辦法中有 種不同的方法，…，第 類辦法中有 種不同的方法，那么完成這件事一共有 種不同的方法。
定理3 原理：做一件事分 個步驟，第一步有 種不同的方法，第二步有 種不同的方法，…，第 步有 種不同的方法，那么完成這件事一共有 種不同的方法。
二、方法與例題
1．利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。
例1 設 ，求證：
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，則
[證明]（1）因為 ，且 ，所以
（2）假設 ，則存在 ，使 ，由于 和 有相同的奇偶性，所以 是奇數或4的倍數，不可能等于 ，假設不成立，所以
（3）設 ，則
（因為 ）。
2．利用子集的定義證明集合相等，先證 ，再證 ，則A=B。
例2 設A，B是兩個集合，又設集合M滿足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先證 ，若 ，因為 ，所以 ，所以 ；
再證 ，若 ，則 1）若 ，則 ；2）若 ，則 。所以
綜上，
3．分類討論思想的應用。
例3 ，若 ，求
【解】依題設， ，再由 解得 或 ，
因為 ，所以 ，所以 ，所以 或2，所以 或3。
因為 ，所以 ，若 ，則 ，即 ，若 ，則 或 ，解得
綜上所述， 或 ； 或 。
4．計數原理的應用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若 ，求有序集合對（A，B）的個數；（2）求I的非空真子集的個數。
【解】（1）集合I可劃分為三個不相交的子集；A\B，B\A， 中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。
（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由原理，子集共有 個，非空真子集有1022個。
5．配對方法。
例5 給定集合 的 個子集： ，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質，求 的值。
【解】將I的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得 對，每一對不能同在這 個子集中，因此， ；其次，每一對中必有一個在這 個子集中出現，否則，若有一對子集未出現，設為C1A與A，并設 ，則 ，從而可以在 個子集中再添加 ，與已知矛盾，所以 。綜上， 。
6．競賽常用方法與例問題。
定理4 容斥原理；用 表示集合A的元素個數，則
，需要xy此結論可以推廣到 個集合的情況，即
定義8 集合的劃分：若 ，且 ，則這些子集的全集叫I的一個 -劃分。
定理5 最小數原理：自然數集的任何非空子集必有最小數。
定理6 抽屜原理：將 個元素放入 個抽屜，必有一個抽屜放有不少于 個元素，也必有一個抽屜放有不多于 個元素；將無窮多個元素放入 個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數的個數。
【解】 記 ， ，由容斥原理， ，所以不能被2，3，5整除的數有 個。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個數的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？
【解】將任意連續的11個整數排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數至多有一個屬于S，將這11個數按連續兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數，若S含有這11個數中至少6個，則必有兩個數在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數。又因為2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當 時，恰有 ，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。
例8求所有自然數 ，使得存在實數 滿足：
【解】 當 時， ；當 時， ；當 時， 。下證當 時，不存在 滿足條件。
令 ，則
所以必存在某兩個下標 ，使得 ，所以 或 ，即 ，所以 或 ， 。
（?）若 ，考慮 ，有 或 ，即 ，設 ，則 ，導致矛盾，故只有
考慮 ，有 或 ，即 ，設 ，則 ，推出矛盾，設 ，則 ，又推出矛盾， 所以 故當 時，不存在滿足條件的實數。
（?）若 ，考慮 ，有 或 ，即 ，這時 ，推出矛盾，故 �？紤] ，有 或 ，即 =3，于是 ，矛盾。因此 ，所以 ，這又矛盾，所以只有 ，所以 。故當 時，不存在滿足條件的實數。
例9 設A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個數，B中取兩個數組成五個元素的集合 ， 求 的最小值。
【解】
設B中每個數在所有 中最多重復出現 次，則必有 。若不然，數 出現 次（ ），則 在 出現的所有 中，至少有一個A中的數出現3次，不妨設它是1，就有集合{1， } ，其中 ，為滿足題意的集合。 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數，這不可能，所以
20個 中，B中的數有40個，因此至少是10個不同的，所以 。當 時，如下20個集合滿足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以劃分成 個互不相交的三元集合 ，其中 ，求滿足條件的最小正整數
【解】 設其中第 個三元集為 則1+2+…+
所以 。當 為偶數時，有 ，所以 ，當 為奇數時，有 ，所以 ，當 時，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以 的最小值為5。
三、基礎訓練題
1．給定三元集合 ，則實數 的取值范圍是___________。
2．若集合 中只有一個元素，則 =___________。
3．集合 的非空真子集有___________個。
4．已知集合 ，若 ，則由滿足條件的實數 組成的集合P=___________。
5．已知 ，且 ，則常數 的取值范圍是___________。
6．若非空集合S滿足 ，且若 ，則 ，那么符合要求的集合S有___________個。
7．集合 之間的關系是___________。
8．若集合 ，其中 ， 且 ，若 ，則A中元素之和是___________。
9．集合 ，且 ，則滿足條件的 值構成的集合為___________。
10．集合 ，則
___________。
11．已知S是由實數構成的集合，且滿足1） ）若 ，則 。如果 ，S中至少含有多少個元素？說明理由。
12．已知 ，又C為單元素集合，求實數 的取值范圍。
四、高考水平訓練題
1．已知集合 ，且A=B，則 ___________， ___________。
2．
，則 ___________。
3．已知集合 ，當 時，實數 的取值范圍是___________。
4．若實數 為常數，且 ___________。
5．集合 ，若 ，則 ___________。
6．集合 ，則 中的最小元素是___________。
7．集合 ，且A=B，則 ___________。
8．已知集合 ，且 ，則 的取值范圍是___________。
9．設集合 ，問：是否存在 ，使得 ，并證明你的結論。
10．集合A和B各含有12個元素， 含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數：1） 且C中含有3個元素；2） 。
11．判斷以下命題是否正確：設A，B是平面上兩個點集， ，若對任何 ，都有 ，則必有 ，證明你的結論。
五、聯賽一試水平訓練題
1．已知集合 ，則實數 的取值范圍是___________。
2．集合 的子集B滿足：對任意的 ，則集合B中元素個數的最大值是___________。
3．已知集合 ，其中 ，且 ，若P=Q，則實數 ___________。
4．已知集合 ，若 是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則 ___________。
5．集合 ，集合 ，則集合M與N的關系是___________。
6．設集合 ，集合A滿足： ，且當 時， ，則A中元素最多有___________個。
7．非空集合 ，≤則使 成立的所有 的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相異）的并集 , 則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數是___________。
9．已知集合 ，問：當 取何值時， 為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結論如何？
10．求集合B和C，使得 ，并且C的元素乘積等于B的元素和。
11．S是Q的子集且滿足：若 ，則 恰有一個成立，并且若 ，則 ，試確定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？
六、聯賽二試水平訓練題
1． 是三個非空整數集，已知對于1，2，3的任意一個排列 ，如果 ， ，則 。求證： 中必有兩個相等。
2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個互不相交的子集 ，使得（1）每個 恰有17個元素；（2）每個 中各元素之和相同。
3．某人寫了 封信，同時寫了 個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？
4．設 是20個兩兩不同的整數，且整合 中有201個不同的元素，求集合 中不同元素個數的最小可能值。
5．設S是由 個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數為偶數。
6．對于整數 ，求出最小的整數 ，使得對于任何正整數 ，集合 的任一個 元子集中，均有至少3個兩兩互質的元素。
7．設集合S={1，2，…，50}，求最小自然數 ，使S的任意一個 元子集中都存在兩個不同的數a和b，滿足 。
8．集合 ，試作出X的三元子集族&，滿足：
（1）X的任意一個二元子集至少被族&中的一個三元子集包含；
（2） 。
9．設集合 ，求最小的正整數 ，使得對A的任意一個14-分劃 ，一定存在某個集合 ，在 中有兩個元素a和b滿足 。
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