§1.3. 2奇偶性
一、內容與解析
（一）內容：奇偶性。
（二）解析：函數奇偶性是用代數方法研究函數圖象整體對稱性，是學生在學習了函數的概念和單調性的基礎上學習的又一個重要性質，所以對本節的理解與掌握對鞏固前面學習的知識，以及為后面進一步學好指數函數、對數函數、三角函數等內容都具有十分重要的意義。
二、目標及其解析：
（一）目標
（1）函數奇偶性的概念和判定；
（二）解析
（1）根據高一學生的認知規律和特點，按照“由具體到抽象”和“抓聯系、促遷移”的原則進行，使學生體驗類比思想、數形結合思想在認識函數中的作用，提高觀察、分析、抽象和概括等方面的能力，具體講就是要經歷概念教學的四個階段：第一階段：感性認識階段，即通過分析問題情景中的生活實例與數學實例等素材，分解內含屬性，找出共同屬性；第二階段：分化本質屬性階段，即舍棄非本質屬性，從共同屬性中抽象出結構上的本質屬性，遷移到研究函數圖象的對稱性問題中；第三階段：概括形成定義階段：即通過“圖像語言→自然語言→數學語言→符號語言”的遷移，刻畫函數奇偶性的特征，得到定義；第四階段：應用于強化階段，即通過例習題的教與學說明如何用定義進行判定和證明函數的奇偶性，并挖掘要注意的問題，從而感悟概念的內涵與外延。。
三、問題診斷分析
函數奇偶性的判斷，一個重要的依據就是定義，學生容易出現的問題的沒有考慮函數的定義域，從而導致錯誤。
四、教學支持條分析
在本節一次遞推的教學中，準備使用PowerPoint 2003。因為使用PowerPoint 2003，有利于提供準確、最核心的字信息，有利于幫助學生順利抓住老師上思路，節省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。
五、教學過程
（一）研探新知：
（1）奇偶函數的定義：
一般地，對于函數 的定義域內的任意一個 ，都有 ，那么 就叫做偶函數．對于函數 的定義域的任意一個 ，都有 ，那么 就叫做奇函數．
思考：判斷函數 的奇偶性．
解析：函數 是非奇非偶函數，因為它的定義域關于原點不對稱．
溫馨提示：
①定義中的“定義域內的任意一個 ”說明：函數的奇偶性是函數的整體性質，而非同單調性的區間性質；
②定義中的“都有 ”說明：函數具有奇偶性必須首先滿足一個先決條，即對于定義域內的任意一個 ， 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．
③根據奇偶性可將函數分為四類：奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、非奇非偶函數，其中，函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性．
④等式的等價形式：
． ；
.
據此，可把邏輯推理轉換為代數運算.
（2） 奇偶函數的圖象特征：偶函數的圖象關于 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．
思考：函數y＝f(x)(x∈[－2,2])的圖象如圖所示，則f(x)＋f(－x)＝ .
解析：由圖象可知f(x)為定義域上的奇函數．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
溫馨提示：若一個函數的圖象關于 軸對稱，則此函數是偶函數；若關于原點對稱，則為奇函數.
（3） 奇偶性性質：①設 ， 的定義域分別是 ，那么在它們的公共定義域（非空）上：
奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
②已知函數 是奇函數，且 有定義，則 .
設計意圖：通過以上問題的探討，使學生逐漸體會運用定義解題的基本方法。
（二）類型題探究
題型一 函數的奇偶性的判定
例1．判斷下列函數的奇偶性
（1） ；
（2）
思路分析：根據定義，先驗證函數定義域的對稱性，再考察 ．
解：（1）函數的定義域為 ，所以解析式可以化簡為 ，
因為
所以，函數 在 上為奇函數。
（2）當 ＞0時，－ ＜0，于是
；
當 ＜0時，－ ＞0，于是
綜上可知， 在R*上是奇函數．
規律總結：利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
①首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；
②確定 ；
③作出相應結論.
誤區警示：第（1）題中，若忽略定義域的求解，就不能有效化簡函數式，會錯誤的認為函數不具備奇偶性；第（2）題中，往往忽略或不能準確討論自變量的取值范圍。
題型二 函數的奇偶性的性質
例2.辨析正誤
(1)兩個奇函數的和或差仍是奇函數；兩個偶函數的和或差仍是偶函數。
(2)已知函數 是奇函數或偶函數，方程 =0有實根，那么方程 =0的所有實根之和為零。
思路分析：函數的一般性性質辨析題可從反例、特例入手解決。
解：（1）錯誤。一方面，如果這兩個函數的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個奇函數或偶函數的差可能既是奇函數又是偶函數，如, ， ，可以看出函數都是定義域上的奇函數，它們的差只在區間[－1，1]上有定義且 ，而在此區間上函數 既是奇函數又是偶函數。
（2）正確。方程 =0的實數根即為函數 與x軸的交點的橫坐標，由奇偶性的定義可知：若 ，則 。
誤區警示：在處理奇、偶函數的和差積商的屬性時，易忽略定義域的判定，導致錯誤解答與應用.
題型三 利用函數的奇偶性求解析式中的參數
例3.設函數 為奇函數，則實數 ______________。
思路分析：借助奇偶性的定義，利用對應相等可以準確解決問題.
解1： ，
即 ， .
解2：
，即 ， ，
經驗證適合題意.
解3：
， ，經驗證適合題意.
規律總結：
利用函數奇偶性求解析式中的參數的思路：
①定義法；準確但不快捷；
②特值法：快捷但不準確，必須加以驗證.
(三）小結：
六、目標檢測
目標檢測一
1.下列圖象表示的函數中具備奇偶性的是（ B ）
2. 設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(－3)＝－2，則f(3)＋f(0)＝( C )
（A）3 �。˙）－3 （C）2 （D）7
3. 在定義域為 （a>0）內，函數 、 均為奇函數，則 為（ A ）
（A）奇函數 （B）偶函數 （C）非奇非偶函數 （D）無法判斷奇偶性
4. 以下四個函數：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ，其中奇函數是（1） ，偶函數是（3） ，非奇非偶函數是（4） ，即奇又偶函數是（2）.
5. 函數 在[－5，5]上為奇函數，其在[0，5]上的圖象如圖所示，則使 <0的x的取值范圍為
6. 函數 在實數集上是奇函數，則a= 0 .
7.已知 是定義在R上的函數，設 ，
⑴試判斷 的奇偶性；⑵試判斷 的關系；
⑶由此你能猜想得出什么樣的結論，并說明理由．
解析：⑴利用奇偶性的定義可得： 分別為偶函數與奇函數；
⑵ ；
⑶定義在R上任何一個函數均可分解為一個奇函數與一個偶函數的和的形式.
目標檢測二
1. 函數f(x)的圖象是兩條直線的一部分(如圖所示)，其定義域為[－1,0)∪(0,1]，則不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是( D )
（A）{x－1≤x≤1且x≠0}
（B）{x－1≤x<0}
（C）{x－1≤x<0或12<x≤1}
（D）{x－1≤x<—12或0<x≤1}
2.已知 對任意實數 都成立，則函數 是（ A ）
（A）奇函數 （B）偶函數
（C）可以是奇函數也可以是偶函數 （D）不能判定奇偶性
解析：顯然 的定義域是 ，它關于原點對稱．在 中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，∴ ，即 ， ∴ 是奇函數．
3.設函數 與 的定義域是 ,函數 是一個偶函數， 是一個奇函數，且 ，則 等于（ A ）
（A） （B） （C） （D）
4.若函數f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數a、b∈R)是偶函數，且它的值域為(－∞，4]，則該函數的解析式f(x)＝________________.
解析：由于f(x)的定義域為R，值域為(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)為二次函數，
f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)為偶函數，∴其對稱軸為x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，
∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，則f(x)＝bx2與值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b＝－2，又其最大值為4，
∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.
5.定義在 上的奇函數 在整個定義域上是減函數，若 ，求實數 的取值范圍。
解析： ，因為函數 為奇函數，所以 ，又因為函數 在 上是減函數，
所以 ，解之得a無解.
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