§二次函數性質的再研究
一、內容與解析
（一）內容：二次函數性質的再研究。
（二）解析：二次函數問題多以解答題的一個部分出現，主要考查利用二次函數的圖像和性質研究最值、值域、單調性、求函數值等問題.特別是定軸動區間或（動軸定區間）問題是高考考查的熱點也是難點，學本節時應加強練習，并能靈活運用數形結合的思想來解決問題.
二、目標及其解析：
（一）目標
（1）掌握二次函數的求最值、對稱性和平移以及二次函數解析式的求法和二次函數的應用；
（二）解析
（1）二次函數是一重要的函數，掌握好二次函數，對學生學習以后的函數有重要的啟發作用，學習時，要特別注意其性質的把握，這里面一個最關鍵的是對稱軸。
三、問題診斷分析
研究二次函數問題一定注意問題成立的范圍，超出范圍的解是無效的.因此研究二次函數時，不僅要關注函數的解析式還要關注函數的定義域，這一點對初學者來說，是很容易犯錯的。
四、支持條件分析
在本節課一次遞推的教學中，準備使用PowerPoint 2003。因為使用PowerPoint 2003，有利于提供準確、最核心的文字信息，有利于幫助學生順利抓住老師上課思路，節省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。
五、教學過程
（一）研探新知：
（1）1.二次函數 的性質
圖 像
開口方向① ②
頂點坐標③ ④
對 稱 軸
單調區間單調遞減區間
⑤調遞增區間 單調遞增區間
⑥單調遞減區間
最 值當 ,取 得最小值為
當 ,取得最大值為
2．二次函數性質的應用
①如何確定二次函數的性質
②如何確定二次函數在閉區間上的值域或最值
3.二次函數的三種解析式
①頂點式：y=a(x-h)2+k (a≠0),其中點(h,k)為頂點,對稱軸為x=h.如果已知頂點，則可設成這種形式.
②交點式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標.如果已知二次函數與x 軸的交點坐標，則可設成這種形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函數上任意3點坐標，可設為這種形式.
（二）類型題探究
題型一 二次函數的最值與解析式問題
例1 已知 ，函數 、 表示函數 在區間 上的最小值，最大值，求 、 表達式．
解析：由 ，知圖像關于 對稱，結合圖像知，
當 ，即 時， ；
而當 ，即 時， ；
當 ，即 時， ．
∴ ．
當 ，即 時， ；
當 ，即 時， ．
∴ ．
題型二 二次函數的實際應用問題
例2 某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為： ，所以這時租出了88輛車；
（2）設每輛車的月租金定為 元，則租賃公司的月收益為：
，
整理得： ，
所以，當 時， 取最大值，其最大值為 ，
即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.
設計意圖：通過以上問題的探討，使學生逐漸體會研究函數問題的一般方法。
(三）小結：
六、目標檢測
一、選擇題
1. 二次函數y＝ax2＋bx＋c滿足f（4）＝f（1），那么（ ）
A. f（2）＞f（3） B. f（2）＜f（3）
C. f（2）＝f（3） D. f（2）與f（3）的大小關系不能確定
1. C 解析：函數對稱軸兩側的單調性與二次項系數的正負有關，結合對稱軸的位置即可得到答案．
2. 一元二次方程 有一個正實數根和一個負實數根，則a的范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. C 解析：方程△＝4－4a>0，設兩根為 ，則 ．∵ 異號，∴ ,結合兩個不等式可得解.
3.函數 是單調函數，則（ ）
A. B. C. D.
3．Ａ 解析：函數 的對稱軸 ，∴函數 ）是單調函數 ，
4.二次函數 ，若 ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
4.Ｄ 解析：二次函數 對稱軸 ，頂點坐標 ,所以 =
二、填空題
5.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營.據市場分析，每輛客車營運的利潤y與營運年數x（x∈Z）為二次函數關系（如圖），則客車有營運利潤的時間不超過________年.
5.7 解析：首先根據條件求出y＝－（x－6）2＋11，本題要求的“客車有營運利潤的時間”實際上是求圖像與x軸兩個交點的橫坐標之差．
6.若函數f（x）=x2+2（a－1）x+2在區間（－∞，4］上是減函數，那么實數a的取值范圍是_____
6.a≤－3 解析：利用二次函數的單調區間與其對稱軸的關系來解題,已知函數二次項系數為1>0,所以在對稱軸的左側該函數為減函數.該函數對稱軸為 ,所給區間都在對稱軸的左側,即a≤－3
三、解答題
7．(1)求函數 （x∈N）的最小值.
(2)在區間 上,求函數 的最大值與最小值.
(3)在區間 上,求函數 的最大值與最小值.
7.解析：(1)因為 ,又因為 ∈N,所以當 =1或 =2時函數值都等于－9且最小.
(2)該函數的對稱軸為x= ,所給區間 在對稱軸的同側,都在右側,又二次項系數為1>0,所以在 上該函數為增函數,所以當 =2時,函數值最小,最小值為-9,當 =3時函數有最大值,最大值為-7
(3)所給區間在對稱軸的異側,所以在對稱軸的時候對應的函數值最小,最小值為 ,當 時, ,當 時, ,所以該函數的最大值為 .
8.已知二次函數當x=4時有最小值－3，且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6，求這個二次函數的解析式.
8. 解析：解法一：設二次函數解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），由條件，可得拋物線的頂點為（4，－3），且過（1，0）與（7，0）兩點，將三個點的坐標代入，得 解得
∴所求二次函數解析式為y= x2－ x+ .
解法二：∵拋物線與x軸的兩個交點坐標是（1，0）與（7，0），
∴設二次函數的解析式為y=a（x－1）（x－7），把頂點（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a= .
∴二次函數解析式為y= （x－1）（x－7），即y= x2－ x+ .
解法三：∵拋物線的頂點為（4，－3），且過點（1，0），∴設二次函數解析式為y=a（x－4）2－3.
將（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a= .
∴二次函數解析式為y= （x－4）2－3，即y= x2－ x+ .
高考能力演練
9.若函數f（x）=x2+ax+b與x軸的交點為（1，0）和（3，0），則函數f（x）的單調性
A.在（－∞，2］上減少，在［2，+∞）上增加 B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加 D.不能確定
9. A 解析：由已知可得該函數的對稱軸為 ,又二次項系數為1>0,所以在（－∞，2］上為單調遞減函數，在［2，+∞）上為單調遞增函數.
10．已知函數 ,且對任意的實數 都有 成立
(1)求實數 的值; (2)利用單調性的定義判斷函數 在區間 上的單調性.
10.解析： (1) ,所以該函數的對稱軸為 ,
根據函數解析式可知 ,所以 .
(2)由(1)可知 ,在 上該函數為增函數,下面就用定義去證明:
設 ,則
, , ,
即 ,故函數 在區間 上的增函數
11.已知函數f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）為f（x）的最小值.
（1）求g（a）； （2）當g（a）=5時，求a的值.
11.解析： f（x）=（x－a）2+1，
（1）當0≤a≤1時，g（a）=f（a）=1;
當a<0時，g（a）=f（0）=a2+1; 當a>1時，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令 a=－2. 令 a=3.∴ 或 時,
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