【必修1】第四 函數應用
第一節函數與方程(2)
利用二分法求方程的近似解
學時: 1學時
[學習引導]
一、自主學習
1.閱讀本 頁
2.回答問題：
（1）本內容分成幾個層次？每個層次的中心內容是什么？
（2）層次間有什么聯系？
（3）二分法求函數零點的步驟是什么？
3.完成本 頁練習及習題4－1．
4.小結
二、方法指導
1.本節內容的重點：利用二分法求方程的近似值．
2.認真數形結合的思想．
3.注意用計算器算近似值的步驟
【思考引導】
一、提問題
1. 為什么要研究利用二分法求方程的近似解?

2. 如何用框圖表述利用二分法求方程實數解的過程？

二、變題目
1. 設f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）內近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0則方程的根落在區間（ ）
A.（1.25,1.5） B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能確定
2. 用“二分法”求方程 在區間（2，3）內的實根，取區間中點為 ，那么下一個有根的區間是 。
3. 借助科學計算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）

【引導】
1.任何方程，只要它所對應的圖象是連續曲線，而且有實根，就可用二分法借助于計算器或計算機求出方程根的近似值，二分的次數越多，根就越精確．二分法體現了無限逼近的數學思想
2.利用二分法求方程近似解的步驟是：
①確定區間［ ］，使 在［ ］上連續，且 ；
②求區間 的中點 ；
③計算 ；
（１）若 則 就是方程的解
（２） ，則方程的解 ；
（３） ，則方程的解 ．
（４）判斷是否達到精確度要求，若區間兩端點按精確度要求相等，則得到方程的近似解．
【拓展引導】
1.函數 的零點所在的大致區間是（ ）
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

2.有12個小球，質量均勻，只有一個球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個球?要求次數越少越好.

3. 某同學解決一道方程近似解的問題解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似實數解（精確到0.01）.
解: f(-1)=-5<0,f(3)=3>0,
可以取初始區間[-1，3]，以后用二分法逐步求解，請問他的解答正確嗎？

參 考 答 案
【思考引導】
一、提問題
１．因為二分法求方程實數解的思想是非常簡明的，利用計算器能很快解決近似值問題．二分法的基本思想也將在以后的學習中不斷幫助我們解決大量的方程求解問題．
2.利用二分法求方程近似解的過程，可以簡約地用右圖表示．

【變題目】
1、 A 2、（2,2.5）
3、 【解析】：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用計算器作出函數f(x)=2x+3x-7 對應值表：
x01234567
f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142
f(1) •f(2)<0 取區間[1,2]
區間中點的值中點函數近似值
(1,2)1.50.33
(1,1.5)1.25-0.87
(1.25,1.5)1.375-0.28
(1.375,1.5)1.43750.02
(1.375,1.4375)
由于 1.375-1.4375=0.0625<0.1
此時區間(1.375,1.4375)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4。

【拓展引導】
1.（C） 在 上是增函數， 0
時 在（0，1）內無零點。

在（1，2）和（3，4）內均無零點。
而 ,故 在（2，3）內至少有一個零點。
2.三次
3.提示：不正確。對于這樣的高次方程，首先要確定它的實數解的個數，一般可以利用函數的單調性或函數的圖像確定。
對于此題：

有三個零點

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