普通高中程標準實驗教科書 [北師版] ?必修1
第四 函數應用
§4.2.1 實際問題的函數刻畫（學案）
【學習目標】
１.知識技能：
（１）培養學生由實際問題轉化為問題的建模能力。
（２）使學生會利用函數圖象的和性質，對函數進行處理，得出數學結論，并根據數學結論解決實際問題。
（３）通過學習函數基本模型的應用，初步向學生滲透理論與實踐的辨證關系。
２.過程與方法：
（１）通過實際問題情境，了解實際問題中量與量之間的變化規律，可以用函數刻畫，研究函數的性質就等價于研究實際問題中量與量之間的函數關系。
（２）通過學生的討論、探究，使學生會將實際問題抽象、概括，化歸為函數問題，進而逐步培養解決實際問題的能力。
３.情感、態度與價值觀：
（１）體會事物發展變化的 “對立統一”規律，培養學生辨證唯物主義思想。
（２）教育學生愛護環境，維護生態平衡。
（３）體會研究函數問題的一般方法，體驗由具體到抽象的思維過程，感受常用的簡單重要函數模型在實際問題中的作用，領悟方程與數形結合的數學思想，培養學生的合作意識，概括歸納能力和科學的思維方式。
【學習重點】常用簡單函數模型的應用。
【學習難點】實際問題的函數刻畫化歸。
【學法指導】利用多媒體手段，根據教師的引導啟發，同學們之間的交流合作、討論、觀察、分析、概括、歸納、總結，達到教學目標的要求。
【前預習】閱讀教科書P137~P139，嘗試完成以下兩題：
1．商店的一種商品每個進價80元，零售價100元．為了促進銷售，開展購一商品贈送一個小禮品的活動，在一定的范圍內，禮品價格每增加l元，銷售量增加10％．求利潤與禮品價格”之間的函數關系．
2．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到al，a2，…，an，共n個數據，我們規定所測量物理量的“最佳近似值”“是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數據差的平方和最�。来艘幎ǎ堄胊1，a2，…，an表示出a．
【堂互動】
[堂引入]
有一大群兔子在喝水嬉戲，但這群兔子曾使澳大利亞人傷透了腦筋？為什么？還是從頭說起：
1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子沒有天敵，兔子數量不斷增加，不到100年，兔子們占領了澳大利亞，數量達75億只，兔子太多，為了生存，變得可惡起，75億只兔子，吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲畜，這些使澳大利亞人頭痛不已，他們采用了各種方法，消滅兔子，直至20世紀50年代，科學家采用載液病毒殺死了90%的兔子，澳大利亞人才算松了一口氣。
問題：自然界一個種群的數量增加有無規律？能否用數學的方法刻畫，怎么刻畫？
[活動過程1]
問題1 當人的生活環境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化．表4—2給出了實驗的一組數據，這組數據能說明什么?
表4—2
環境溫度/（℃）410203038
代謝率／4185J／（h•m2）60444040．554
分析:
（1） 該問題中反映的信息中有哪些量?
（2） 這幾個量之間存在怎樣的依賴關系?
（3） 數據提供的信息是什么（揭示了怎
樣的規律）?
（4）上述規律有什么現實指導意義？
[活動過程2]
問題2 某廠生產一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設備和制作模具花去廠200000元，生產每上藝品的直接成本為300元，每工藝品的售價為500元，產量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數關系?表示了什么實際含義，
（1）該問題中反映的信息中有哪些量?
（2） 這幾個量之間存在怎樣的依賴關系?
[活動過程3]
問題3 如圖4—7，在一條彎曲的河道上，設置了六個水監測站．現在需要在河邊建一個情報中心，從各監測站沿河邊分別向情報中心鋪沒專用通信電纜，怎樣刻畫專用通信電纜的總長度?
解:
[堂小結]：本節我們通過幾例實際問題，體會到了用一次函數（分段）模型刻畫實際問題的方法，明白數形結合法是研究函數性質，解決實際問題的有效方法
問題1：當環境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化，通過對實驗數據的分析，它可以確定由環境溫度值到人體代謝率各數值的一個函數，通過對這個函數的學習，我們體會到用函數能夠刻畫（社會的）人的代謝率與溫度（自然的）的關系。
問題2：總成本C，單位成本P，銷售收入R，利潤L都是產量x的函數。
問題3：用“以直代曲”的辦法，可確定電纜總長度的函數。
通過以上實例可以看出函數作為描述變量之間依賴關系的數學模型在刻畫現實問題中具有廣泛的應用。小到一個人的成長過程，大到一個國家的人口增長；小到一架飛機的飛行路線，大到天體的運動軌跡；小到冰塊的溫度變化過程，大到全球溫度的變暖，都可利用函數進行刻畫和研究。
[堂練習]
1．某市有甲乙兩家乒乓球俱樂部，兩家的設備和服務都很好，但收費方式不同。甲家每張球臺每小時5元，乙家按月計費，一個月中30小時（含30小時）每張球臺90元，超過30小時的部分，每張球臺每小時2元。某人準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺，開展活動。其活動時間不少于15小時，也不超過40小時；設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g（x）元（15≤x≤40）。
（1）寫出f（x）和g（x）的解析式。
（2）假設你和你的同伴想去該人處進行乒乓球訓練，按時間算，你們該怎樣選擇，費用比較低？
提示：①利用f（x）=g（x）解方程得出x；
②在同一坐標系中利用函數圖象相交，直接觀察、分析、概括。
[達標檢測]
1．電信局為了滿足客戶不同需要，設有A、B兩種優惠方案，這兩種方案應付話費（元）與通話時間（分鐘）之間的關系如圖所示，（其中N//CD）
（1）分別求出方案A、B應付話費（元）與通話時間X（分鐘）的函數表達式f（x）和g（x）。
（2）假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優惠方案？并說明理由。
2．Ａ、Ｂ兩城相距１００km，在兩地之間距Ａ城xkm處Ｄ建一核電站給Ａ、Ｂ兩城供電，為得讓城市安全，核電站距城市距離不得少于１０km。已知供電費用與供電距離得平方和和供電量之積成正比，比例系數x＝０.２５。若Ａ城供電量為２０億度／月，Ｂ城為１０億度／月，把月供電總費用y表示成x的函數，并求出定義域，并回答，應將電站建在何處，月供電總費用最低？
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoyi/40633.html
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