目標：
知識與技能理解指數函數與對數函數的依賴關系， 了解反函數的概念，加深對函數的模型化思想的理解．
過程與方法通過作圖，體會兩種函數的單調性的異同．
情感、態度、價值觀對體會指數函數與對數函數內在的對稱統一．
重點：
重點難兩種函數的內在聯系，反函數的概念．
難 點反函數的概念．
教學程序與環節設計：
教學過程與操作設計：
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創
設
情
境材料一：
當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．根據些規律，人們獲得了生物體碳14含量P與生物死亡年數t之間的關系．回答下列問題：
（1）求生物死亡t年 后它機體 內的碳14的含量P，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？
（2）已知一生物體內碳14的殘留量為P， 試求該生物死亡的年數t，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？
（3）這兩個函數有什么特殊的關系？
（4）用映射的觀點來解釋P和t之間的對應關系是何種對應關系？
（5）由此你能獲得怎樣的啟示？生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結果．
師：引導學生分析歸納，總結概括得出結論：
（1）P和t之間的對應關系是一一對應；
（2）P關于t是指數函數 ；
t關于P是對數函數 ，它們的底數相同，所描述的都是碳14的衰變過程中，碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系；
（3）本問題中的同底數的指數函數和對數函數，是描述同一種關系（碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系）的不同數學模型．
材料二：
由對數函數的定義可知，對數函數 是把指數函數 中的自變量與因變量對調位置而得出的，在列表畫 的圖象時，也是把指數函數 的對應值表里的 和 的數值對換，而得到對數函數 的對應值表，如下：
表一 ．
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…-3-2-10123…
… 1248…
表二 ．
…-3-2-10123…
…
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在同一坐標系中，用描點法畫出圖象．生：仿照材料一分析： 與 的關系．
師：引導學生分析，講評得出結論，進而引出反函數的概念．
組織探究材料一：反函數的概念：
當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量，我們稱這兩個函數互為反函數．
由反函數的概念可知，同底數的指數函數和對數函數互為反函數．
材料二： 以 與 為例研究互為反函數的兩個函數的圖象和性質有什么特殊的聯系？師：說明：
（1）互為反函數的兩個函數是定義域、值域相互交換，對應法則互逆的兩個函數；
（2）由反函數的概念可知“單調函數一定有反函數”；
（3）互為反函數的兩個函數是描述同一變化過程中兩個變量關系的不同數 學模型．
師：引導學生探索研究材料二．
生：分組討論材料二，選 出代表闡述各自的結論，師生共同評析歸納．
嘗試練習求下列函數的反函數：
（1） ；（2）
生：獨立完成．
鞏固反思從宏觀性、關聯性角度試著給指數函數、對數函數的定義、圖象、性質作一小結．
作業反饋1．求下列函數 的反函數：
1234
3579
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2．（1）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f(a?b)=f(a)+f(b)．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？
（2）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f(a+b)=f(a)?f(b)．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？答案：
1．互換 、 的數值．
2．略．
課外活動我們知道，指數函數 ，且 與對數函數 ，且 互為反函數，那么，它們的圖象有什么關系呢？運用所學的數學知識，探索下面幾個問題，親自發現其中的奧秘吧！
問題1在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數 及其反函數 的圖象，你能發 現這兩個函數的圖象有什么特殊的對稱性嗎？
問題2 取 圖象上的幾個點，說出它們關于直線 的對稱點的坐標，并判斷它們是否在 的圖象上，為什么？
問題3如果P0 （x0，y0）在函數 的圖象上，那么P0關于直線 的對 稱點在函數 的圖象上嗎，為什么？
問題4由上述探究過程可以得到什么結論？
問題5上述結論對于指數函數
，且 及其反函數 ，且 也成立嗎？為什么？結論：
互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 對稱．
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoyi/71221.html
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