2.2.2 用樣本的數字特征估計總體的數字特征

〖目標〗
1. 正確理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差
2. 能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋；
3. 會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，形成對數據處理過程進行初步評價的意識。
〖重難點〗
教學重點　　用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差。
教學難點　　能應用相關知識解決簡單的實際問題。
〖教學過程〗
一、復習回顧
作頻率分布直方圖分幾個步驟？各步驟需要注意哪些問題？
二、創設情境
在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下?
甲運動員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？上節我們學習了用圖表的方法研究，為了從整體上更好地把握總體的規律，我們這節要通過樣本的數據對總體的數字特。
三、 新知探究
眾數、中位數、平均數
眾數—一組數中出現次數最多的數；在頻率分布直方圖中，我們取最高的那個小長方形橫坐標的中點。
中位數——當一組數有奇數個時等于中間的數，當有偶數個時等于中間兩數的平均數；在頻率分布直方圖中，是使圖形左右兩邊面積相等的線所在的橫坐標。
平均數——將所有數相加再除以這組數的個數；在頻率分布直方圖中，等于每個小長方形的面積乘以其底邊中點的橫坐標的和。
思考探究：
分別利用原始數據和頻率分布直方圖求出眾數、中位數、平均數，觀察所得的數據，你發現了什么
問題？為什么會這樣呢？
你能說說這幾個數據在描述樣本信息時有什么特點嗎？由此你有什么樣的體會？
答：（1）從頻率分布直方圖得到的眾數和中位數與從數據中得到的不一樣，因為頻率分布直方圖損失了一部分樣本信息，所以不如原始數據準確。
（2）眾數和中位數不受極端值的影響，平均數反應樣本總體的信息，容易受極端值的影響。
練一練：
假如你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數額，其中一條新公路的建設投資為2000萬元人民幣，另外25個項目的投資是20～100萬元。中位數是25萬元，平均數是100萬元，眾數是20萬元。你會選擇哪一種數字特征 表示國家對每一個項目投資的平均金額？
解析：平均數。
一、標準差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下?
甲運動員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
我們知道， 。
兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察 圖2.2－7）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度考察這兩組數據。
1、標準差
標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示。

思考探究：
1、標準差的大小和數據的離散程度有什么關系？
2、標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數據有什么特點？
答：（1）顯然，標準差較大，數據的離散程度較大；標準差較小，數據的離散程度較小。
（2）從標準差的定義和計算公式都可以得出： 。當 時，意味著所有的樣本數據
都等于樣本平均數。
2、方差

在刻畫樣本數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。
四、例題精析
例1：農場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續6年的年平均產量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產量比較穩定？
[分析]采用求標準差的方法
解：

所以甲水稻的產量比較穩定。
點評：在平均值相等的情況下，比較方差或標準差。
變式訓練：在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為
（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8
【答案】B
【解析】由題意知，所剩數據為90，90，93，94，93，所以其平均值為
90+ =92；方差為 2.8，故選B。

例2、例1.為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量.產品數量的分組區間為

由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產該產品數量在
的人數是　 .

(2)這20名工人中一天生產該產品數量的中位數　 .

(3)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數　 .

點評：在直方圖中估計中位數、平均數。
變式訓練：
某醫院急診中心關于其病人等待急診的時間記錄如下：
等待時間（分鐘）
人數48521
用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值 = ，病人等待時間的標準差的估計值 =

五、反饋測評
1． 在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：
成績678910
人數分布12467
則選手的平均成績是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為 ，約有一半的新生兒身長大于等于 ，新生兒身長的最可能值是 .
3.．樣本 的平均數為5，方差為7，則3 的平均數、方差，標準差分別為

4．某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數據如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產品較穩定.

六、堂小結
1、在頻率分布直方圖中，如何求出眾數、中位數、平均數？
2、標準差的公式；標準差的大小和數據的離散程度有什么關系？
〖板書設計〗

〖書面作業〗
本 6 7

2.2.2 用樣本的數字特征估計總體的數字特征

前預習學案
一、預習目標：
通過預習，初步理解眾數、中位數、平均數、標準差、方差的概念。
二、預習內容：
1、知識回顧：
作頻率分布直方圖分幾個步驟？各步驟需要注意哪些問題？

2、眾數、中位數、平均數的概念
眾 數:¬¬¬____________________________________________________________________

中位數:___________________________________________________________________

平均數:____________________________________________________________________
3.眾數、中位數、平均數與頻率分布直方圖的關系：
眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中，就是______________________________________
中位數左邊和右邊的直方圖的________應該相等，由此可估計中位數的值。
平均數是直方圖的___________.
4.標準差、方差
標準差 s=_________________________________________________________________

方 差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內容
內探究學案
一、學習目標：
1. 能說出樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據的標準差
2. 能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋；
3. 會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，形成對數據處理過程進行初步評價的意識。
二、學習內容
1.眾數、中位數、平均數
思考1：分別利用原始數據和頻率分布直方圖求出眾數、中位數、平均數，觀察所得的數據，你發現了什么問題？為什么會這樣呢？

思考2： 你能說說這幾個數據在描述樣本信息時有什么特點嗎？由此你有什么樣的體會？

練一練：
假如你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數額，其中一條新公路的建設投資為2000萬元人民幣，另外25個項目的投資是20～100萬元。中位數是25萬元，平均數是100萬元，眾數是20萬元。你會選擇哪一種數字特征表示國家對每一個項目投資的平均金額？

2. 標準差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下?
甲運動員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？

思考1：標準差的大小和數據的離散程度有什么關系？

思考2：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數據有什么特點？

3、〖典型例題〗
例1.為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量.產品數量的分組區間為

由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產該產品數量在
的人數是　 .

(2)這20名工人中一天生產該產品數量的中位數　 .

(3)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數　 .

例2：農場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續6年的年平均產量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產量比較穩定？

三、反思總結
1、 在頻率分布直方圖中，如何求出眾數、中位數、平均數？

2、標準差的公式；標準差的大小和數據的離散程度有什么關系?

四、當堂檢測

1．在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：
成績678910
人數分布12467
則選手的平均成績是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為 ，約有一半的新生兒身長大于等于 ，新生兒身長的最可能值是 .
3．某醫院急診中心關于其病人等待急診的時間記錄如下：
等待時間（分鐘）
人數48521
用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值 = ，病人等待時間的標準差的估計值 =

4．樣本 的平均數為5，方差為7，則3 的平均數、方差，標準差分別為

5．某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數據如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產品較穩定.

后練習與提高
1.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為 已知這組數據的平均數為10，方差為2，則 的值為（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均數公式為10，得 ，則 ，又由于方差為2，則 得

所以有 ，故選D.
2.某房間中10個人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個人，進入房間后，這11個人的平均身高是多少？
解：原的10個人的身高之和為17.4米，所以，這11個人的平均身高為 =1.75.即這11個人的平均身高為1075米
[例4]若有一個企業，70%的人年收入1萬，25%的人年收入3萬，5%的人年收入11萬，求這個企業的年平均收入及年收入的中位數和眾數
解：年平均收入為1 （萬）；中位數和眾數均為1萬
3.下面是某快餐店所有工作人員的收入表：
老板大廚二廚采購員雜工服務生會計
3000元450元350元400元320元320元410元
（1）計算所有人員的月平均收入；
（2）這個平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？
（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？
（4）根據以上計算，以統計的觀點對（3）的結果作出分析
解：（1）平均收入 （3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）這個平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產生了較大的影響，并且他不是打工人員
（3）去掉老板后的月平均收入 （450+350+400+320+320+410）=375元.這能代表打工人員的月收入水平
（4）由上可見，個別特殊數據可能對平均值產生大的影響，因此在進行統計分析時，對異常值要進行專門討論，有時應剔除之

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