高考要求
1．通過復習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規方法(即通性通法)證明不等式的有關問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據，掌握分析法的證題格式和要求 搞清各種證明方法的理論依據和具體證明方法和步驟
4 通過證明不等式的過程，培養自覺運用數形結合、函數等基本數學思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題
知識點歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差
②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和
③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因導果
（3）分析法：執果索因 基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項，如： ； ；
②將分子或分母放大（或縮�。�
③利用基本不等式，
如： ；
④利用常用結論：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度�。�
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元 如：
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ( )；
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ；
（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．
數學歸納法法證明不等式將在數學歸納法中專門研究
題型講解
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數學關系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實質上是化學問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
， ，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數形結合法）如圖，在Rt ABC及Rt ADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2 已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即 （當且僅當 時，取等號）
證法二：（分析法）
因為顯然成立，所以原不等式成立
點評：分析法是基本的數學方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設 ，
則
由a+b=1，得 ，于是有
所以 ，
這與 矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點評：根據欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵ ，
所以可設 ， ，
∴左邊＝
＝右邊
當且僅當t=0時，等號成立
點評：形如a+b=1結構式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有 ，
所以 ，
因為 ，所以 ，即
故
例3設實數x，y滿足y+x2=0，0
，只要證： ，
又 ，
只需證：
∴只需證 ，
即證 ，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4 設m等于 ， 和1中最大的一個，當 時，求證：
分析：本題的關鍵是將題設條件中的文字語言“m等于 ， 和1中最大的一個”翻譯為符號語言“ ， ， ”，從而知
證明：（綜合法） ，
例5 已知
的單調區間；
(2)求證：
（3）若 求證：
解: （1） 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 ,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點評：函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值
小結：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內容甚廣，證明不但用到不等式的性質，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結合內容的方方面面 如與數列的結合，與“二次曲線”的結合，與“三角函數”的結合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數”這“三個二次”間的互相聯系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點
2 在不等式證明中還要注意數學方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數學歸納法等，還要注意一些數學技巧，如數形結合、放縮、分類討論等
3 比較法是證明不等式最常用最基本的方法 當欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常用差值比較法 當欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時常用商值比較法，即欲證
4 基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉化的數學思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要的數學思想方法
⑶ “分析法”證明不等式就是“執果索因”，從所證的不等式出發，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習慣上用“ ”來表達 分析法是數學解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復雜的問題轉化為較簡單的問題，在證明較復雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉化，得到一個較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度
學生練習
1 設 ，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點評：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關鍵在于作差（或商）后結式了進行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2 己知 都是正數，且 成等比數列，
求證：
證明：
成等比數列，
都是正數，
點評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運用基本不等式，也是用比較法證不等式時的一種常用手段
3 己知函數 ，當 滿足 時，證明： 對于任意實數 都成立的充要條件是
證明：
（1）若 ，則
(2)當 時，
故原命題成立
4．比較 的大小 （其中0< x <1 ）
解： - = >0 (比差)
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證明：
7．若 ，求證ab與 不能都大于
證明：假設ab, (1－a) (1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設a+b>2 則b>2-a
a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以, a+b
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13 設 都正數，求證：
證明：
，
14 設 且 ，求證：
證法1 若 ， ，
這與 矛盾，
同理可證
證法2 由 知
15 有甲、乙兩個糧食經銷商每次在同一糧食生產基地以相同價格購進糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元 三次后統計，誰購的糧食平均價低？為什么？
解：設第一、二、三次的糧食價格分別為 元/千克、 元/千克、 元/千克， ，則甲三次購糧的平均價格為 ，乙三次購糧的平均價格為 ，因為
所以乙購的糧食價格低
說明“各次的糧食價格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價格用式子表示出來 我們應該從式的特征聯想到用基本不等式進行變換
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