目標：
１．知識與技能目標：
（１）了解中國古代數學中求兩個正整數最大公約數的算法以及割圓術的算法；
（２）通過對“更相減損之術”及“割圓術”的學習，更好的理解將要解決的問題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導“割圓術”的操作步驟。
２．過程與方法目標：
（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數學思維轉變為具體的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學會借助實例分析，探究數學問題。
３．情感與價值目標：
（１）通過學生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學生興趣，激發其求知欲，培養探索精神；
（２）體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻，增強愛國主義情懷。
重點與難點：
重點：了解“更相減損之術”及“割圓術”的算法。
難點：體會算法案例中蘊含的算法思想，利用它解決具體問題。
教學方法：
通過典型實例，使學生經歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯
結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。
教學過程：
教學
環節教學內容師生互動設計意圖
創設 情境
引入新課引導學生回顧
人們在長期的生活，生產和勞動過程中，創造了整數，分數，小數，正負數及其計算，以及無限逼近任一實數的方法，在代數學，幾何學方面，我國在宋，元之前也都處于世界的前列。我們在小學，中學學到的算術，代數，從記數到多元一次聯立方程的求根方法，都是我國古代數學家最先創造的。更為重要的是我國古代數學的發展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問題“算法化”。本章的內容是算法，特別是在中國古代也有著很多算法案例，我們來看一下并且進一步體會“算法”的概念。
教師引導，學生回顧。
教師啟發學生回憶小學初中時所學算術代數知識，共同創設情景，引入新課。
通過對以往所學數學知識的回顧，使學生理清知識脈絡，并且向學生指明，我國古代數學的發展“寓理于算”，不同于西方數學，在今天看仍然有很大的優越性，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻，增強愛國主義情懷。
閱讀
課本
探究
新知
１．求兩個正整數最大公約數的算法
學生通常會用輾轉相除法求兩個正整數的最大公約數：
例１：求７８和３６的最大公約數
（１）利用輾轉相除法
步驟：
計算出７８ ３６的余數６，再將前面的除數３６作為新的被除數，３６ ６＝６，余數為０，則此時的除數即為７８和３６的最大公約數。
理論依據： ，得 與 有相同的公約數
（２）更相減損之術
指導閱讀課本P ----P ，總結步驟
步驟：
以兩數中較大的數減去較小的數，即７８－３６＝４２；以差數４２和較小的數3６構成新的一對數，對這一對數再用大數減去小數，即４２－３６＝６,再以差數６和較小的數３６構成新的一對數，對這一對數再用大數減去小數，即３６－６＝３０,繼續這一過程,直到產生一對相等的數，這個數就是最大公約數
即，
理論依據：
由 ，得 與 有相同的公約數
算法：
輸入兩個正數 ；
如果 ，則執行 ，否則轉到 ；
將 的值賦予 ；
若 ，則把 賦予 ，把 賦予 ，否則把 賦予 ，重新執行 ；
輸出最大公約數
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
while a<>b
if a>=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學生閱讀課本內容，分析研究，獨立的解決問題。
教師巡視，加強對學生的個別指導。
由學生回答求最大公約數的兩種方法，簡要說明其步驟，并能說出其理論依據。
由學生寫出更相減損法和輾轉相除法的算法，并編出簡單程序。
教師將兩種算法同時顯示在屏幕上，以方便學生對比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學生加以了解。數學教學要有學生根據自己的經驗，用自己的思維方式把要學的知識重新創造出來。這種再創造積累和發展到一定程度，就有可能發生質的飛躍。在教學中應創造自主探索與合作交流的學習環境，讓學生有充分的時間和空間去觀察，分析，動手實踐，從而主動發現和創造所學的數學知識。
求兩個正整數的最大公約數是本節課的一個重點，用學生非常熟悉的問題為載體來講解算法的有關知識，，強調了提供典型實例，使學生經歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。為了能在計算機上實現，還適當展示了將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語
言的內容�？偟膩碚f，不追求形式上的嚴謹，通過案例引導學生理解相應內容所反映的數學思想與數學方法。
應用
舉例例1 ：用等值算法（更相減損術）求下列兩數的最大公約數。
（1）225，135 （2）98，280
例2：用輾轉相除法驗證上例中兩數的最大公約數是否正確。學生練習，教師巡視檢查。
學生回答。鞏固所學知識，進一步加深對知識的理解，用輾轉相除法步驟較少，而更相減損術雖然有些步驟較長，但運算簡單。
體會我國古代數學中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應用
舉例2．割圓術
魏晉時期數學家劉徽，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”
即從圓內接正六邊形開始，讓邊數逐次加倍，逐個算出這些內接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數值。
閱讀課本P ----P ，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內接正六邊形開始，計算它的面積 ；
第二，逐步加倍圓內接正多邊形的邊數，分別計算圓內接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數（設為２m）為止，得到一列遞增的數 ，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積 與相應的面積 相加，得 ，這樣又得到一列遞增數： ， ， ，…， 。
第四，圓面積 滿足不等式
估計 的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設圓的半徑為１，弦心距為 ，正 邊形的邊長為 ，面積為 ，由勾股定理得
，
則
圖可知，正 邊形的面積等于正 邊形的面積加上 個等腰三角形的面積和，即
（ ）
利用這個遞推公式，可以得到正六邊形的面積為 ，
由于圓的半徑為１，所以隨著 的增大， 的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
for I=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)?2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2) ?2+(1-h)?2);
end
print(%io(2),n,s)學生閱讀課本，教師巡視注意個別指導，幫助學生識圖，分析。
教師概括割圓術的步驟，學生觀察圖形，引導學生提出問題并解答。
步驟較復雜，教師注意結合圖形幫助學生分析，理解。
通過教師分析的割圓術的步驟，又學生討論制定割圓術的算法，教師注意指導，適當提示，引導學生出現算法中的遞推關系。
教師將算法顯現在屏幕上，又學生對應寫出簡單的程序。
割圓術是從圓內接六邊形開始，讓邊數逐次加倍，逐個算出這些內接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數值。在但是要付出艱辛的勞動，現在有計算機，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術中的算法，即運算規律，計算機會迅速得到所求答案。
分析劉徽割圓術中的算法是難點所在，學生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學生一起總結割圓術的步驟，在此基礎上，又學生將所分析的步驟寫為算法，引導學生體會算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個問題時，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當的方式表達出來（畫出程序框圖，轉化為程序語句），這個過程就是算法設計過程，這是一個思維的條理化、邏輯化的過程。
歸納小結1．求最大公約數的輾轉相除法和更相減損法；
2．割圓術的算法學生小結并相互補充，師生共同整理完善。學生學后反思總結，可以提高學生自己獲得知識的能力以及歸納概括能力。
課后作業 習題1―3 1，2
選作 習題1―3
鞏固所學知識，是學有余力的同學的創造性得到進一步的發揮。
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoer/70684.html
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