小 結
學習目標
1. 理解不等式的性質，并能證明；
2. 掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數定理，并會簡單地應用；
3. 掌握證明不等式的常用方法，如：比較法、分析法、綜合法、反證法等等。
4. 培養我們的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。
學習過程
一、本章的基本內容
1．不等式的性質
定理1：如果a>b，那么bb；
定理2：如果a>b且b>c，那么a>c．
定理3：如果 ，那么 （加法單調性）反之亦然
推論1：如果 且 ，那么 （相加法則）
推論2：如果 且 ，那么 （相減法則）
定理4：如果 且 , 那么 ；如果 且 那么 （乘法單調性）
推論1 ： 如果 且 ，那么 （相乘法則）
推論1：（補充）如果 且 ，那么 （相除法則）
推論2 如果 , 那么
定理5：如果 ，那么
2．幾個重要不等式
定理1： 如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”）
定理2：如果a，b是正數，那么 （當且僅當 時取“=”）
定理3：如果 ，那么 ，（當且僅當 時取“=”）
推論：如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”）
推廣：（均值不等式）： ≥ ，
3．極值定理：已知 都是正數，則
（1） 如果積 是定值 ，那么當 時和 有最小值 ；
（2） 如果和 是定值 ，那么當 時積 有最大值 。
4．掌握證明不等式的常用方法：比較法、分析法、綜合法、反證法。
5．掌握幾種常見的幾類不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、含有絕對值的不等式、指數不等式、對數不等式等等。
不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，對數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據題設與結論的結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。
二、知識整合
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，互相轉化．
2．整式不等 式(主要是一次、二次不等式、可以因式分解的高次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函數的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，相互轉化．
3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰．
4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、結論的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．
5．證明不等式的方法多樣，內容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不 等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執果索因”，后者是“由因導果”，證明時往往聯合使用分析法、綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．
6．不等式應用問題體現了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建 立函數式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要恰當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：（1）審題，（2）建立不等式模型，（3）解數學問題，（4）作答。
7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數 、三角函數、數列（包括復數、立體幾何、解析幾何）等各部分知識中 的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的力．在應用不等式的基本知識、 方法、思想解決問題的過程中，提高我們的數學素質及創新意識．
三、方法技巧
1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。
2.解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活用。
3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。
4．根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法。
四、例題分析
例1.設集合M＝｛（x,y） x＝（y+3）y－1＋y+3，- ｝，若（a，b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂并能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？
解析：依題可知，本題等價于求函數x=f(y)=(y+3)?y-1+(y+3)
在 - 時的最小值.
（1）當 - 時，
(2)當1≤y≤3時，
所以當y=1時， = 4．
而 ，因此當y＝ 時，x有最小值 ，
即 .
探索發現：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示
其數學實質．即求集合M中的元素滿足關系式
“x＝（y+3）y－1＋y+3，- ”的所有點中橫坐標最小的a的值.
例2．數列 由下列條件確定：
（1）證明：對于 ,
（2）證明：對于 ．
證明：（1） 及 知 ，
從而
（2）當 時，
= 。
例3．解關于 的不等式：
分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數 進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：當
；
；
。
例4．若二次函數y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．
分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f (-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解析：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一：(利用基本不等式的性質)
不等式組(Ⅰ)變形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取 值范圍是[6，10]．
解法二(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
解法三：(數形結合)（這種解法需要學習了線性規劃后才適合）k
建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0 表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點
A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．
探索發現：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現以下一種錯解：
2b，
8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數學結構，然后依其數學結構特征，揭示其代數的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數形結合、方程等數學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數學的素養一定會迅速提高．
探索發現：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．
例5.城市2009年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同。為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？
解：設2009年末的汽車保有量為 ，以后每年末的汽車保有量依次為 ，每年新增汽車 萬輛。由題意得
第六章 不等式單元測試
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．若a＜b＜0，則（ ）
A． B．0＜ ＜1
C．ab＞b2 D．
2．若a＋c＜b，則（ ）
A．a＜b-c B．a＞c-b
C．a＞b-c D．a＜c-b
3．設a= ，則a，b，c的大小順序是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．設b＜0＜a，d＜c＜0，則下列各不等式中必成立的是（ ）
A．ac＞bd B．
C．a+c＞b+d D．a-c＞b-d
5．下列命題中正確的一個是（ ）
A． 成立當且僅當a，b均為正數
B． 成立當且僅當a，b均為正數
C．logab+logba≥2成立當且僅當a，b∈（1，+∞）
D．a+ ≥2成立當且僅當a≠0
6．函數 的定義域是（ ）
A．x≤1或x≥3 B．x＜-2或x＞1
C．x＜-2或x≥3 D．x<-2或x＞3
7．已知x，y∈R，命題甲：x－1＜5，命題乙：x－1＜5，那么（ ）
A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件
B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充要條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
8．已知實數x，y滿足x2+y2=1，則代數式（1-xy） （1+xy）有（ ）
A．最小值 和最大值1 B．最小值 和最大值1
C．最小值 和最大值 D．最小值1
9．關于x的方程ax2+2x-1=0至少有一個正的實根的充要條件是（ ）
A．a≥0 B．-1≤a＜0
C．a＞0或-1＜a＜0 D．a≥-1
10．函數y＝ （x＞0）的最小值是（ ）
A． B．-1+
C．1+ D．-2+
11．若 ，則 等于（ ）
A．4x-5 B．-3
C．3 D．5-4x
12．下列各對不等式中同解的是（ ）
A． 與 B． 與
C． 與 D． 與
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．關于x的不等式ax 2+bx+2>0的解集是 ，則a+b=_____________。
14．實數x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是 ，此時x= ，y= 。
15．方程x2-2x+lg（2a2-a）=0又一正根一負根，則實數a的取值范圍是 。
16．建造一個容積8m3，深為2m長的游泳池，若池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則游泳池的最低總造價為__________元。
三、解答題（本大題共6題，共74分）
17．（12分）已知a，b>0，且a+b=1，求證：（ax+by）（ay+bx）≥xy
18．（12分）解關于x的不等式 （a>0且a≠1）
19．（12分）已知x>y>0，且xy=1，若x2+y2≥a（x-y）恒成立，求實數a的取值范圍。
20．（12分）解關于x的不等式 。
21．（12分）設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，而當x∈[2，3]時，g（x）=-x2+4x-4。
（1）求f（x）的解析式；
（2）對于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求證：f（x2）-f（x1）<2x2-x1；
（3）對于任意的x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求證：f（x2）-f（x1）≤1
22．（14分）某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架圍成的總面積8cm2。問x、y分別為多少（精確0.001m）時用料最省?
參考答案
一、選擇題
1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．B
二、填空題
13．-14 14．1，2，1 15． 16．1760
三、解答題
17．（12分）解：左邊= ，
． ，∴左邊 。
18．（12分）解：原不等式
，
∴當a>1時，原不等式的解集為： ；
當0
19．（12分）解：設xy=1，∵x>y>0，xy=1∴t>0，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=t2+2
原題意 對t>0恒成立
。
20．（12分）解：∵a>0，∴原不等式
①當 ，即0
③當 ，即 ，則原不等式的解集為
21．（12分）解：（1）由題意知f（x+1）=g（1-x）推出f（x）=g（2-x）
當-1≤x≤0時，2≤2-x≤3，f（x）= -（2-x）2+4（2-x）-4= -x2
當0
（2）當x1，x2∈[0，1]且x1≠x2時，0
（3）當x1，x2∈[0，1]且x1≠x2時，0≤x12≤1，0≤x22≤1∴-1≤x22-x12≤1即x22-x12≤1
∴f（x2）-f（x1）=x22-x12≤1
22．（14分）解：由題意得xy+ x2=8，∴ 。
于框架用料長度為
當（ + ）x= ，即x=8-4 時等號成立.
此時，x≈2.343，y=2 ≈2.828。
故當x為2.343m，y為2.828m時，用料最省。
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