幾何概型
使用說明：此教案旨在幫助教師理解幾何概型的基礎上設置的，從概念的分析，到例題的設置需要教師花心思針對學生情況重新組織，很多例題需要配套使用，效果更好。
一．正確區分古典概型與幾何概型
題組一：1．在區間[0，10]上任意取一個整數 ，則 不大于3的概率為： 。
2．在區間[0，10]上任意取一個實數 ，則 不大于3的概率為： 。
分析：此題組中，問題1因為總的基本事件是[0，10]內的全部整數，所以基本事件總數為有限個11，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為 。問題2中，因為總的基本事件是[0，10]內的全部實數，所以基本事件總數為無限個，此問題屬于幾何概型，事件對應的測度為區間的長度，總的基本事件對應區間[0，10]長度為10，而事件“不大于3”對應區間[0，3]長度為3，所以所求概率為 。
此題組中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發生的，但是問題1中的總基本事件是有限個，屬于古典概型；而問題2中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型；可見古典概型與幾何概型有聯系也有區別，但在實際解決問題中，關鍵還在于正確區分古典概型與幾何概型。
二．準確分清幾何概型中的測度
題組二：1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<300的概率。
2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<300的概率。
分析：此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。問題1的測度定性為線段長度，當∠CAM0=300時， ，合條件的點M等可能的分布在線段 上，所以所求概率等于 。而問題2的測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數條，均勻分布在∠CAB內，∠CAB=450，所以所求概率等于 。
此題組中的兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時考察和計算的結果也不一致。可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題。
知識鞏固：
下列概率問題中哪些屬于幾何概型？
(1)從一批產品中抽取30件進行檢查,有5件次品，求正品的概率。
(2)隨機地向四方格里投擲硬幣50次，統計硬幣正面朝上的概率。
(3)箭靶的直徑為1m，其中，靶心的直徑只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率為多少？
(4)甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時才可離去，求兩人能會面的概率。
對比古典概型和幾何概型的特點，判斷（1）、（3）屬于古典概型；（2）、（4）屬于幾何概型。
例題1：⑴ 某人午睡醒后，發現表停了，于是打開收音機等候整點報時，那么等待時間不多于10分鐘的概率是多大？1）這是什么概型，為什么？(幾何概型）
2）借助什么樣的幾何圖形來表示隨機事件與所有基本事件？
（圓或線段）
3）該如何建立數學模型？
解：設A=“等待時間不超過10分鐘”,則 或
⑵某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。
分析：某人醒來在整點間即60分鐘是隨機的，等待的時間不多于10分鐘可以看作構成事件的區域，整點即60分鐘可以看作所有結果構成的區域，因此本題的變量可以看作是時間的長度，于是可以通過長度比公式計算其概率。
可設“等待的時間不多于10分鐘”這一事件記作事件A，則
；
顯然這是一個與長度有關的幾何概型問題，問題比較簡單，學生也易于理解。
問題拓展：某人午覺醒來，發現表停了，則表停的分鐘數和實際分鐘數差異不超過5分鐘的概率為多少？
分析：本題的特點在于學生易犯固定思維的錯誤，習慣性的用上題中的時間長度之比來解決，得到錯誤的答案 。學生錯誤的原因在于沒有科學的認識題中的變量。本題中包含了兩個變量，一個是手表停的分鐘數，可以在[0，60]內的任意時刻，另一個變量是實際分鐘數，也可以在[0，60]內的任意時刻。所以本題的解決應以 軸和 軸分別表示手表停的分鐘數和實際分鐘數，那么差異不超過5分鐘的充要條件是 ，從而可以繪制坐標軸，數形結合，得到結果。
由于 的所有可能結果是邊長為60的正方形，
差異不超過5分鐘由圖中陰影部分所表示，
記“差異不超過5分鐘”為事件
因此,差異不超過5分鐘的概率 。
例題2：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環。從外向內分為白色、黑色、藍
色、紅色、靶心是金色。金色靶心叫“黃心”。奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm。運動員在70m外射箭。假設射箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？
1、拋階磚游戲
“拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一.參與者只須將手上的“金幣”（設“金幣”的半徑為1）拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個階磚（邊長為2.1的正方形）的范圍內（不與階磚相連的線重疊），便可獲大獎. 不少人被高額獎金所吸引，紛紛參與此游戲但很少有人得到獎品，請用今天所學知識解釋這是為什么。
分析：若中獎，金幣圓心必位于右圖的綠色區域A內.圓心隨機地落在“階磚”的任何位置，所以這是一個幾何概型。其概率為
練習：面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r
2a
分析：首先可以判定此試驗為幾何概型，我們為了描述每一次隨機試驗的結果只需要確定硬幣中心O的位置即可，一旦中心位置確定，只要當中心O到其最近平行線的距離大于其半徑時，就滿足事件A,由此不難想到由中心O向靠的的最近的平行線引垂線，垂足為M,顯然線段OM長度是介于0到a之間的一個實數，接下來我們做一條長度為a的線段，因此這個實數在此線段上就對應著一個點，從而我們每做一次隨機試驗就可以理解為在此線段上取一個點，所以這條線段就可以理解為區域Ω,其長度為a。接下來我們再來看事件A所理解的區域，首先看一種臨界狀態，就是當硬幣與平行線相切時，此時中心O到最近平行線的距離r,顯然只有當中心O到最近平行線的距離大于r時滿足事件A,所以事件A理解的區域其長度應為a－r,所以
2、抽獎游戲的再思考:
在兩種情況下分別求抽中電視機的概率是多少?
(1)如果在轉盤上，區域1縮小為一個單點，那么要求概率是多少？
(2)如果在轉盤上，區域1擴大為整個轉盤扣除一個單點，那么所求概率又是多少？
總結：用幾何概型解釋概率為0的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定為必然事件。
3、甲乙兩人相約在14：00?15：00在某地會面，假定每人在這段時間內的每個時刻到達會面地點的可能性是相等的，先到的的等20分鐘后便可以離開，試求兩個人會面的概率。
分析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能會面的充要條件為
?x-y? 20，如圖所示。
故所求概率為陰影面積與正方形面積之比。
練習：
一條直線型街道的A、B兩盞路燈之間的距離為120米，由于光線較暗，想在中間再隨意安裝兩盞路燈C、D，順序為A、C、D、B. 問A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率是多少？
解： 設A與C、B與D之間的距離分別為x米、y米.則所有可能結果為： ；記A與C、B與D之間的距離都不小于40米為事件A，則事件A的可能結果為 .
如圖所示，試驗全部結果構成區域Ω為直線 與兩坐標軸所圍成的△ABC. 而事件A所構成區域是三條直線 ， ， 所夾中間的陰影部分.
根據幾何概型公式，得到： 所以，A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率為 .
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