教案18 函數的單調性
一、前檢測
1. 下列函數 中，滿足 “對 ,當 時，都有 ”的是（ B ）
A． B． C． D．

2. 函數 和 的遞增區間依次是（ C ）
A． B． C． D．

3. 已知函數 在 內單調遞減，則 的取值范圍是（ C ）
A． B． C． D．

二、知識梳理
1.函數的單調性：一般地，設函數 的定義域為 ，區間 ，如果對于區間 內的任意兩個值 ，當 時都有 ，那么就稱函數 在區間 上是單調 ( )函數，區間 稱為 的 ( )區間.
解讀：

2.判斷函數單調性的常用方法：
（1）定義法： （2）圖象法： （3）導數法： （4）利用復合函數的單調性：
解讀：

3.關于函數單調性還有以下一些常見結論：
①兩個增（減）函數的和為_____；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差是______；
②奇函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；
③互為反函數的兩個函數在各自定義域上有______的單調性；
解讀：

4.求函數單調區間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數法、導數法等
解讀：

三、典型例題分析
例1 求證： 在 上是增函數.
答案：略

變式訓練：對于給定的函數 ，有以下四個結論：
① 的圖象關于原點對稱；② 在定義域上是增函數；③ 在區間 上為減函數，且在 上為增函數；④ 有最小值2。
其中結論正確的是 . 答案：①③④

小結與拓展：對 “對勾函數”的認識。

例2 已知函數 ．滿足對任意的 都有 成立，則 的取值范圍是（ A ）
A． B． C． D．

變式訓練：已知函數 ,若 則實數 的取值范圍是 ．
解析： 在 上是增函數，由題得 ，解得

小結與拓展：判斷函數單調性的基本方法是定義法。

例3 （1）函數 的遞增區間為___________； 答案：
（2）函數 的遞減區間為_________。 答案：

變式訓練1：求函數 的單調區間；
答案：遞增區間為 ；遞減區間為
變式訓練2：已知 在[0, 1]上是減函數，則實數 的取值范圍是＿＿＿＿。
解：題中隱含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是減函數.∴y=logau應為增函數，且u=2－ax在［0，1］上應恒大于零.∴
∴1＜a＜2.

小結與拓展：復合函數單調性按照“同增異減”的法則判定

例4 函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.?
（1）求證：f(x)是R上的增函數；?
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.?
解：（1）設x1,x2∈R，且x1＜x2,?
則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).?
即f(x)是R上的增函數.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?
∴f（2）=3，
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),?
∵f(x)是R上的增函數，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜ ,故解集為（-1, ）.
小結與拓展：判斷抽象函數單調性的基本方法是定義法，關鍵是根據條判斷 的符號，需要設法構造出 的因式。

變式訓練：已知定義在區間 上的函數 滿足 ，且當 時， ，
（1）求 的值；（2）判斷 的單調性；（3）若 ，解不等式 。
答案：（1）令 可得 ；
（2）任取 且 則 ，
所以， 在區間 上單調遞減；
（3）由 ，由 單調遞減 ，解的： 或

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：

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