3.1 等差數列（第二時，等差數列的性質）
教學目的：
1.明確等差中項的概念.
2.進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式.
教學重點：等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用
教學難點：靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題
一、復習引入
1．等差數列的定義；2．等差數列的通項公式：（1），（2），（3）
3．有幾種方法可以計算公差d
① d= － ② d= ③ d=
二、講解新：
問題：如果在 與 中間插入一個數A，使 ，A， 成等差數列數列，那么A應滿足什么條？
由定義得A- = -A ，即：
反之，若 ，則A- = -A
由此可可得： 成等差數列。
也就是說，A= 是a,A,b成等差數列的充要條
定義：若 ，A， 成等差數列，那么A叫做 與 的等差中項。
不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。
如數列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。
9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。
注意到， ，……
由此猜測：
性質：在等差數列中，若m+n=p+q，則，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
（以上結論由學生證明）
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
特例：等差數列{an}中，與首尾“等距離”的任意兩項和相等.即

三、例題
例1在等差數列{ }中，若 + =9, =7, 求 , .
分析：要求一個數列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式 + = + =9入手……（答案： =2, =32）
例2 等差數列{ }中， + + =－12, 且 • • =80. 求通項
分析：要求通項，仍然是先求公差和其中至少一項的問題。而已知兩個條均是三項復合關系式，欲求某項必須消元（項）或再構造一個等式出。
（答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）
例3在等差數列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9項和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）.
提示：由雙項關系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180.
＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.
例4已知a、b、c的倒數成等差數列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差數列。
分析：將a、b、c的成等差數列轉化為a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.
例5 已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11…都有100項，問它們有多少公共項.
分析：兩個等差數列的相同的項按原的前后次序組成一個等差數列，且公差為原兩個公差的最小公倍數.（答案：25個公共項）
四、練習：
1.在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差
2. 在等差數列 中, 若 求
3.在等差數列 中若 ， ， 求
五、作業：本：P114習題3.2 7. 10，11.《精析精練》P117 智能達標訓練




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