課題§4 對數§4.1對數及其運算
一、教材及學情分析
對數及其運算是北師大版普通高中數學課程標準實驗教科書《數學1（必修）》第三章第四單元第一節，是在系統學習研究函數的一般方法、指數的概念及運算性質,基本掌握指數函數的概念及性質的基礎上引入的，既是指數有關知識的承接和延續，又是后續研究對數函數、探討函數應用的基礎,本節共兩課時，本課是第一課時，重點研究對數的概念及其性質,教材以2000年國民經濟生產總值增幅為背景，引入對數概念，在使學生認識引進對數必要性的同時,強化學生的數學應用意識，“思考交流”旨在引導學生進一步厘清指數式與對指數式之間的關系，明確1和底數對數的特點，深化真數取值范圍的理解，為對數函數學習打下伏筆。常用對數及自然對數是對數的特例,教材將其安排在對數性質之后，旨在引領學生經歷“特殊——一般——特殊”的過程，進一步發展學生的理性思維。因此，本節內容無論是只是傳承，還是數學思想方法的強化滲透，都具有非常重要的奠基作用。
經歷了義務教育階段學習的高一學生，思維正處于由經驗型向理論型過渡與轉型期，思維的發散性與聚斂性基本成型，已具有研究函數和從事簡單數學活動的能力，加之指數及指數函數等知識鋪墊，對于本單元學習奠定了必要的知識和經驗基礎。
二、目標
1、知識技能目標
①理解對數的概念。
②理解和掌握對數的性質。
③理解指數與對數的關系，熟練地進行指數式與對數式互換。
2、過程與方法目標：經歷由指數得到對數的過程，掌握指數式與對數式互化方法；結合對數概念探究對數的性質：0和負數沒有對數。 (a＞1,且a≠1)
3、情感態度與價值觀：
①通過指數式與對數式的互化，使學生感受對數式是指數式的另一種表達形式，進一步體會運用指數式探求對數的基本思路及方法，發展學生的數學表達能力和嚴謹有序的思維品質。
②通過隨堂提問、練習評價，激發學生的探究興趣，增強學生的成功感體驗，幫助學生認識自我、建立自信。
三、重點與難點
1、重點：對數式與指數式的互化及對數的性質。
2、難點：對數概念的理解， 的推導及應用。
四、教法選擇
根據教材及學情特點，本課以“嘗試指導，效果回授”法為主，輔之于討論法和自學輔導法。以問題為主線，活動為載體，力求創設有效的教學情境, 引導學生在在觀察中思考，在思考中探索，在探索中發現，在發現中收獲，在收獲中創新，在創新中升華，通過具有一定層次梯度的問題序列，多角度、全方位訓練學生思維的聚斂性和發散性。為增大課堂容量，“注重信息技術與數學課程的整合”（課標語），可借助多媒體輔助教學,為學生的教學探究與教學思維提供支持。教具準備：PPT演示文稿；學具準備：教科書，課堂練習本。
五、教學過程
（一）創設情境，導入新課
1、莊子：一尺木垂，日取其豐，不世不竭，
問題：①�。创芜€有多長？怎樣計算？
②取多少次還有０.125尺?
2、如果2000年我國國民生產總值a億，如果每年增長8.2%， 那么經過多少年國民生產總值是2000年的2倍？
處理：問題1①由學生口答，教師根據學生回答情況板書① ，并揭示運算實質。問題1②及問題2引導學生按照解決數學問題的常規步驟嘗試建構方程，并板書如下
② ③ ？
誘導：式②③與式①有什么不同？如何求x呢？（教師結合學生對前一問題的回答，因勢利導，揭示②③的本質——已知底數和冪的值，求指數，說明這就是本節課要研究的內容，接著引入并板書課題）
（二）誘導嘗試，探究新知
1、引導觀察，探獲本質——建構對數概念
（1）誘導： 中x分別等于多少？目前大家沒有學過這種運算，可以定義一種新運算，（邊敘述邊板書：如果 ，那么x叫作以 為底0.125的對數，記作： ）；你們能模仿描述定義 中的x嗎？試試！（學生嘗試描述，教師根據學生描述板書）
問題1：你們還能舉出類似例子，并模仿表述嗎？（處理方法同上）
問題2：你們能結合以上實例給出一般性的結論嗎？（一名學生回答，發動其他學生參與補充）
（板書）定義：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b次冪等于N，即 ，那么數b叫作以a為底N的對數，記作： 中a叫作對數的底數，N叫作真數。（強調書寫規范要求，引導學生閱讀教科書P78對數概念及P79兩種特殊對數及表示方法）
2、及時分化，適時類化——揭示概念本質，探索對數性質
（1）（課件出示）問題3：先獨立思考完成下表，后四人一組討論交流：①對數運算的實質是什么？②零與負數有沒有對數？③ 與 有什么關系？④若將 中的b換成 ，你們有什么發現？若將 中的N換成 呢？
a的名稱a的取值范圍N的名稱N的取值范圍b的名稱b的取值范圍


【處理：①學生獨立探索、合作交流，教師巡回視導，重點關注學生是否從定義出發，考察相關字母名稱及取值范圍，因勢利導；②根據學生討論情況，運用自定義動畫完善此表；③結合學生討論板書如下：

性質：（1）零與負數沒有對數
（2） 或
（三）變式訓練，鞏固新知
（課件展示）問題1：將下列指數式寫成對數式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
處理：（1）提兩名學生板演，將其余學生按座次左右依次分為A、B兩組，A組完成單號，B組完成雙號，交換互查。（2）評價完畢后，強調：（1） 是對數的重要性質，必須熟練掌握。（板書：性質3： ）
（2）注意：指數式與對數式互化最關鍵是搞清N與b在指數與對數式中的位置關系。
（課件展示）問題2：將下列對數式寫成指數式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
處理：學生口答，教師依據學生口答順序，用課件展示正確答案。
問題3：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
處理：教師引導學生從指數式與對數式關系入手，探求（1），并示范板書（1）解題過程。其余各題由學生分組獨立完成。
機動練習及課外探究：
（1）填空：① =_____,②對數式 中X的取值范圍是
；
（2）求值：① ；② ；③
（四）全課小結，細化新知
1、提問：通過本節學習，你們有哪些收獲？
2、在學生回答的基礎上，概括如下：
本節課主要學習一個概念（對數）；掌握三個性質（零與負數沒有對數； 或 ； ）；掌握一種方法（利用指數式與對數式的關系求對數值的方法）；注意個問題：（1）指數式與對數式互化的關鍵是搞清N與b在指數與對數式中的位置關系；（2）常用對數與自然對數是兩種特殊對數，務必牢固掌握。（3）
（五）推薦作業， 延展新知
1、 0和負數無對數

3、
思考：大家對對數概念和一些特殊式子已知有了一定的了解，但實際科學研究和了解自然起了巨大作用，還有哪類對數？（閱讀課本）
引導板書 常用對數 自然對數
為了方便： （e=2.71828）
原式

簡記

例如：
應用示例，練習鞏固
問題1、將下列指數式寫成對數式。
（1） （2） （3） （4）
學生板演：解：略
變式訓練：指數式寫成對數式。
（1） （2） （3）
思考：指數式與對數式互化注意問題？
最關鍵是搞清N與b在指數與對數式中的位關系，其中對數定義是指數式
與對數式互化的根據。
問題2、將下列對數式寫成指數式。（讓學生閱讀題目，獨立解題。）
（1） （2） （3） （4）
變式訓練：把對數式寫成指數式。（點評）
（1） （2） （3） （4）
問題3、求值（師生點評總結）
（1） （2） （3） （4） （5）
活動：學生獨立解題，回答問題依據。（利用指數式與對數式關系轉化為
指數式求解）
變形訓練：
求下列各項的值：（1） （2） （3）
（4） （5） （6）

點評：本題注意方根的運算，也可借助對數恒等式來解（#）
總結提煉（學生先總結，學到什么知識，后老師總結）
１、對數的含義
２、對數式 中字母取值范圍a>0且a≠1 b∈R　N>0
３、三個公式 （問0和負數有沒有對數）
４、兩個特殊對數
５、應用指對數式經化及求值注意地方
課后思考題（選做）
（1）對數式 中X的取值范圍是 。
（2）若 ，則X= 。
（3）計算： （a>0 b>0 c>0 N>0）
課后練習：P80 1、2、3 P87 A、1、2
課后作業：
1、P87 習題3-4 A 3、（1）（3）（5）（7）（9） 4
2、 請同學們閱讀課本，搜集有關對數發展材料，尋找有關換底公式材料，為下一步學習打基礎。
１、板書設計：引入（1）（2）
對數定義（注意事項） 指數式和對數式的互化 小結
對數與指數冪間關系 問題1、
提出問題（交流探究） 2、 作業
兩種常見對數 3、
謝謝大家再見��！
知能訓練：
１、把下列指數式寫成對數式
（1） （2） （3） （4） （5）
2、把下列對數式寫成指數式
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3、求值（x的值）
(1) （2） （3） （4）
4、（1）求 的值
（2）已知： 、 ，求

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