【學習導航】
知識網絡
學習要求
1．理解指數函數的概念；掌握指數函數的圖象、性質；
2．初步了解函數圖象之間最基本的初等變換。
3．能運用指數函數的性質比較兩個指數值的大�。�
4．提高觀察、運用能力．
自學評價
1．形如 的函數叫做指數函數，其中自變量是 ，函數定義域是 ，
值域是 ．
2. 下列函數是為指數函數有 ② ③ ⑤ ．
① ②
③ （ 且 ）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ．
3.指數函數 恒經過點 ．
4.當 時，函數 單調性
為 在 上是增函數 ；
當 時，函數
單調性是在 上是減函數 ．
【精典范例】
例1：比較大�。�
（1） ；（2） ；（3） ．
分析：利用指數函數的單調性．
【解】（1）考慮指數函數 ， ，
在 上是增函數，
∴ ．
（2）考慮指數函數 ， ，
在 上是減函數，
∴ ．
（3） 在 上是增函數， 在 上是減函數，
∴ ，
∴ ．
點評:當底數相同的兩個冪比較大小時，要考慮指數函數；當底數不相同的兩個冪比較大小時，要尋找第三個值來與之比較．
例2：
（1）已知 ，求實數 的取值范圍；（2）已知 ，求實數 的取值范圍.
分析：利用指數函數的單調性.
【解】（1） 在 上是增函數，
由 得 ，即實數 的取值范圍是 .
（2） 在 上是減函數，
又 ，
由 得 ，即實數 的取值范圍是 .
點評:通過函數值的大小關系來尋找出自變量的大小是單調性運用的又一常用方法.
例3：設 是實數，
，
（1）求 的值，使函數 為奇函數
（2）試證明：對于任意 在 為增函數；
分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。
（1）∵ ，
由 是奇函數，∴
即 ，∴ .
（2）證明：設 ，則
，
由于指數函數 在 上是增函數，且 ，所以 即 ，
又由 ，得 ， ，
所以， 即 ．
因為此結論與 取值無關，所以對于 取任意實數， 在 為增函數.
點評:求與指數函數有關的復合函數的奇偶性、單調性時要注意運用指數函數的有關性質來解決問題.
追蹤訓練一
1.若函數 在 上是減函數，則實數 的取值范圍是 （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
2.已知函數 在區間 上的最大值與最小值的差是1，求實數 的值；
解：當 時，函數 在區間 上是增函數， ，∵ ，∴ ；
當 時，函數 在區間 上是減函數， ，∵ ，
∴ ；
綜上： 或 ．
3. 解不等式：(1) (2)
析：本題的本質是利用函數的單調性求參數的范圍．
解：(1)∵
∴
又∵ 在定義域上是增函數
∴原不等式等價于
解之得
∴原不等式的解集為
(2) 可以整理為
∵ ， ∴ 即 ，
又∵ 在定義域上是減函數，∴
故原不等式的解集為 ．
【選修延伸】
一、與指數函數有關的復合函數
例4: 求函數 的定義域、值域、單調區間．
分析：原函數由函數 與 復合而成，求解時要統籌考慮．
【解】設 ，則 ，由于它們的定義域都是 ，所以函數 的定義域為 ．
因為 ，
所以 ，又 ，
函數 的值域為 ．
函數 在 是增函數，而 在 上是減函數，
所以設 ，則 ，
從而 ，即 ，
函數 在 是增函數，
同理：函數 在 是減函數，函數 的增區間 ，
減區間是 ．
點評:形如 的定義域與 的定義域相同；求值域時要先確定 的值域，再根據指數函數的性質確定 的值域；
當 時， 與 的單調性相同，
當 時， 與 的單調性相反．
思維點拔：
（1）比較兩個指數式的大小或解指數不等式往往要利用指數函數的性質；（2）與指數函數有關的復合函數的性質既要考慮到指數函數的性質，又要考慮到與之復合的函數性質．
追蹤訓練二
1．求下列函數的定義域、值域：
(1) (2)
解：（1） ∴
原函數的定義域是 ，
令 則
∴ 得 ，
所以，原函數的值域是 ．
（2） ∴
原函數的定義域是 ，
令 則 ，
在 是增函數 ∴ ，
所以，原函數的值域是 ．
第16課 指數函數（1）
分層訓練
1．函數 是指數函數，則 的取值范圍是（ �。�
或
2．函數 的定義域為（ �。�
3． 若 ，則 的范圍為 ．
4． 已知函數 滿足：對任意的 ，都有 ，且有 ，則滿足上述條件的一個函數是 �。�
5．將三個數 按從小到大的順序排列是 ．
6．（1）函數 的定義域是 ；值域是 ；
（2）函數 的定義域是 ；值域是 ．
7．已知
，確定 的范圍，使得 ．
拓展延伸
8．實數 滿足 ，則 �。�
9．求函數 ， 的最大值和最小值．
10．若函數 為奇函數，
（1）確定 的值；（2）討論函數的單調性．
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