最小二乘估計

教學目標：1、掌握最小二乘法的思想
2、能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程
教學重點：最小二乘法的思想
教學難點：線性回歸方程系數公式的應用
教學過程
回顧：上節我們討論了人的身高與右手一?長之間的線性關系，用了很多種方法刻畫這種線性關系，但是這些方法都缺少數學思想依據。
問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些？
想法：保證這條直線與所有點都近（也就是距離最�。�。
最小二乘法就是基于這種想法。
問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效？
設直線方程為y=a+bx，樣本點A（xi，yi）
方法一、點到直線的距離公式

方法二、

顯然方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它表示二者之間的接近程度。
問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？
例如有5個樣本點，其坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：
從而我們可以推廣到n個樣本點：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：

使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法
問題4、怎樣使 達到最小值？
先討論3個樣本點的情況
設有3個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：
…………………①
整理成為關于a的一元二次函數 ，如下所示：

利用配方法可得

從而當 時，使得函數 達到最小值。
將 代入①式，整理成為關于b的一元二次函數 ，



同樣使用配方法可以得到，當

時，使得函數 達到最小值。
從而得到直線y=a+bx的系數a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。
用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數：


其中
由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。
例題與練習
例1 在上一節練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數（y）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。數據如下表
氣溫（xi）／oC261813104-1
杯數（yi）／杯202434385064
（１）試用最小二乘法求出線性回歸方程。
（２）如果某天的氣溫是－3 oC，請預測可能會賣出熱茶多少杯。
解：（1）先畫出其散點圖

ixiyixi2xiyi
12620676520
21824324432
31334169442
41038100380
545016200
6－1641－64
合計7023012861910
可以求得
則線性回歸方程為
y =57.557－1.648x
（2）當某天的氣溫是－3 oC時，賣出熱茶的杯數估計為：

練習1 已知x，y之間的一組數據如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 ( D )
x0123
y1357

（A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）

練習2 某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：
商店名稱ABCDE
銷售額（x）/千萬元35679
利潤額（y）/百萬元23345
（１）畫出銷售額和利潤額的散點圖；
（２）若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。

解：（1）

（2）數據如下表：
ixiyixi2xiyi
13296
2532515
3633618
4744928
5958145
合計3017200112
可以求得b=0.5，a=0.4
線性回歸方程為：
小結
1、最小二乘法的思想
2、線性回歸方程的系數：

作業：P60 習題1－8 第1題

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoer/34696.html

相關閱讀：橢圓定義在解題中的應用
基本算法語句
函數的和差積商的導數學案練習題
基本計數原理
合情推理