25 對數函數的導數及應用
一、前準備：
【自主梳理】
1． ， ．
2． ， ．
3．已知 ，則 ．
4．已知 ，則 ．
【自我檢測】
1． 函數 的單調減區間為____ __．
2．直線 是曲線 的一條切線，則實數b＝ ．
3．曲線 上的點到直線 的最短距離是 ．
4．已知函數 ，則 在區間 上的最大值和最小值分別為
和 ．
5．已知函數 ， ．若函數 與 在區間 上均為增函數,則實數 的取值范圍為 ．
二、堂活動：
【例1】題：
（1）函數 的單調遞增區間是 ．
（2）點 是曲線 上任意一點,則點 到直線 的距離的最小值是 ．
（3）若函數 在定義域內是增函數，則實數 的取值范圍是 ．
（4）已知函數 ，則曲線 在點 處的切線方程為__________。

【例2】已知函數 ．
（Ⅰ）若 ，求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）求 的極值；
（Ⅲ）若函數 的圖象與函數 的圖象在區間 上有公共點，求實數 的取值范圍．

【例3】已知函數 ．
(Ⅰ)若曲線 在 和 處的切線互相平行，求 的值；
(Ⅱ)求 的單調區間；
(Ⅲ)設 ，若對任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范圍．

三、后作業
1．已知函數 ，則函數 的單調增區間為 ．
2．已知函數 的圖象在點 （ 為自然對數的底數）處的切線斜率為3．則實數 的值為 ．
3．已知函數 ，則曲線 在點 處的切線方程為 ．
4．已知函數f(x)=x2－x＋alnx，當 時， 恒成立，則實數 的取值范圍為 ．
5．已知函數 且 ，其中 、 則m的值為 ．
6．若f（x）= 上是減函數，則b的取值范圍是 ．
7．設函數 若直線l與函數 的圖象都相切，且與函數 的圖象相切于點 ，則實數p的值 ．
8．已知定義在正實數集上的函數 ， ，其中 ．設兩曲線 ， 有公共點，且在該點處的切線相同，則用 可用 表示為_________．
9．已知函數 ．
(Ⅰ)若 ，求曲線 在 處切線的斜率；(Ⅱ)求 的單調區間；
（Ⅲ）設 ，若對任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范圍．

10．設函數 （ ）， ．
(1) 若函數 圖象上的點到直線 距離的最小值為 ，求 的值；
(2) 關于 的不等式 的解集中的整數恰有3個，求實數 的取值范圍；
(3) 對于函數 與 定義域上的任意實數 ，若存在常數 ，使得 和 都成立，則稱直線 為函數 與 的“分界線”．設 ， ，試探究 與 是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

四、糾錯分析
錯題卡題 號錯 題 原 因 分 析

參考答案：
【自我檢測】
1． 2．ln2－1 3． 4． 和 5．
二、堂活動：
【例1】（1） （2） （3） （4）
【例2】解：（Ⅰ） ∵ ，∴ 且 ．
又∵ ，∴ ．
∴ 在點 處的切線方程為： ，即 ．
（Ⅱ） 的定義域為 ， ， 令 得 ．當 時， ， 是增函數；當 時， ， 是減函數；∴ 在 處取得極大值，即 ．
（Ⅲ）（i）當 ，即 時，由（Ⅱ）知 在 上是增函數，在 上是減函數，∴當 時， 取得最大值，即 ．又當 時， ，當 時， ，當 時， ，所以， 的圖像與 的圖像在 上有公共點，等價于 ，解得 ，又因為 ，所以 ．
（ii）當 ，即 時， 在 上是增函數，∴ 在 上的最大值為 ，∴原問題等價于 ，解得 ，又∵ ∴無解．
綜上， 的取值范圍是 ．
【例3】解： ．
（Ⅰ） ，解得 ．
（Ⅱ） ．
①當 時， ， ， 在區間 上， ；在區間 上 ，
故 的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 ．
②當 時， ， 在區間 和 上， ；在區間 上 ，
故 的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是 ．
③當 時， ， 故 的單調遞增區間是 ．
④當 時， ， 在區間 和 上， ；在區間 上 ，
故 的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是 ．
（Ⅲ）由已知，在 上有 ．
由已知， ，由（Ⅱ）可知，①當 時， 在 上單調遞增，故 ，所以， ，解得 ，故 ．
②當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，故 ．由 可知 ， ， ，所以， ， ， 綜上所述， ．
三、后作業
1．（1，+∞） 2． 3． 4． 5．m=1
6．（-∞，-1） 7．p=1或p=3 8．
9．解：(Ⅰ)由已知 ， ．故曲線 在 處切線的斜率為 ．
(Ⅱ) ．
①當 時，由于 ，故 ， ,所以， 的單調遞增區間為 ．
②當 時，由 ，得 ．在區間 上， ，在區間 上 ，
所以，函數 的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ．
（Ⅲ）由已知，轉化為 ． ．
由(Ⅱ)知，當 時， 在 上單調遞增，值域為 ，故不符合題意．
(或者舉出反例：存在 ，故不符合題意．)
當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，
故 的極大值即為最大值， ，
所以 ，解得 ．
10．解：（1）因為 ，所以 ，令 ，得： ，此時 ，則點 到直線 的距離為 ，
即 ，解之得 ．
（2）解法一：不等式 的解集中的整數恰有3個，
等價于 恰有三個整數解，故 ，　
令 ，由 且 ，
所以函數 的一個零點在區間 ，
則另一個零點一定在區間 ，故 解之得 ．　
解法二： 恰有三個整數解，故 ，即 ，
，所以 ，又因為 ， 所以 ，解之得 ．
（3）設 ，則 ．
所以當 時， ；當 時， ．因此 時， 取得最小值 ，則 與 的圖象在 處有公共點 ．
設 與 存在 “分界線”，方程為 ，
即 ，由 在 恒成立，則 在 恒成立 ．所以 成立，因此 ．
下面證明 恒成立．
設 ，則 ．
所以當 時， ；當 時， ．
因此 時 取得最大值 ，則 成立．
故所求“分界線”方程為： ．

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