一、教材分析
向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的，正因為如此，運用向量可以解決一些物理和幾何問題，例如利用向量計算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行、垂直位置關系的判定等問題。
二、目標
1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐
標法，可以用向量知識研究物理中的相關問題的“四環節” 和生活中的實際問題
2.通過本節的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強學生的
積極主動的探究意識，培養創新精神。
三、重點難點
重點：理解并能靈活運用向量加減法與向量數量積的法則解決幾何和物理問題.
難點：選擇適當的方法，將幾何問題或者物理問題轉化為向量問題加以解決.
四、學情分析
在平面幾何中，平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎知識，那么在本節的學習中，借助這些對于學生來說，非常熟悉的內容來講解向量在幾何與物理問題中的應用。
五、教學方法
1.例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的應用。
2.學案導學：見后面的學案
3.新授課教學基本環節：預習檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發導學案、布置預習
六、課前準備
1.學生的學習準備：預習本節課本上的基本內容，初步理解向量在平面幾何和物理中的
應用
2.教師的教學準備：課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。
七、課時安排：1課時
八、教學過程
(一)預習檢查、總結疑惑
檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。
(二）情景導入、展示目標
教師首先提問：（1）若O為 重心,則 + + =
（2）水渠橫斷面是四邊形 , = ,且 = ,則這個四邊形
為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有什么關系?
(3) 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？
教師：本節主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習情況并讓學生把預習過程中的疑惑說出來。
（設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。）
（三）合作探究、精講點撥。
探究一：（１）向量運算與幾何中的結論＂若 ，則 ，且 所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會？（２）由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例．
教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質可以由向量線性運算及數量積表示出來： 例如，向量數量積對應著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行 中，設 ＝ , ＝ ，則 （平移）， ， （長度）．向量 ， 的夾角為 .因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關系，如距離、夾角等．把運算結果＂翻譯＂成幾何關系．本節課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用
例1．證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．
分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數量積．注意到 ， ，我們計算 和 ．
證明：不妨設 a， b，則
a+b， a-b， a2， b2．
得 ( a+b)?( a+b)
= a?a+ a?b+b?a+b?b= a2+2a?b+b2． ①
同理 a2-2a?b+b2． ②
①+②得 2(a2+b2)=2( )．
所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？
讓學生體會幾何方法與向量方法的區別與難易情況。
師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度.
用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，
⑴建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
⑶把運算結果“翻譯”成幾何關系．
變式訓練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設 （1）證明A、O、E三點共線；（2）用 表示向量 。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎？
分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可．
解：設 a， b，則 a+b．
由 與 共線，因此。存在實數m，使得 =m(a+b)．
又 由 與 共線
因此 存在實數n，使得 =n = n( b- a)．
由 = n ，得m(a+b)= a+ n( b- a)．
整理得 a＋ b＝0．
由于向量a、b不共線，所以有 ，解得 ．
所以 ．
同理 ．
于是 ．
所以 AR＝RT＝TC．
說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法．
探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.
（2）在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么？
師：向量在物理中的應用，實際上就是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現象．
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數學的角度解釋這種現象嗎？
分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數學模型．只要分析清楚F、G、 三者之間的關系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數學解釋．
解：不妨設F1=F2， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
F1= ．
通過上面的式子我們發現，當 由 逐漸變大時， 由 逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因此，F1有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．
師：請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：
⑴ 為何值時，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發到河對岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？
分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對船的實際航行的影響）
解： = (km/h)，
所以， (min)．
答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min．
本例關鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系侯，本例就容易解決了。
變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為 ，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在 方向上的投影。
九、板書設計
§2.5 平面向量應用舉例
例⒈ 用向量法解平面幾何 例2 變式訓練
問題的“三步曲”
例3. 例4
變式訓練
十、教學反思
本小節主要是例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的應用。教學中，教師創設問題情境，引導學生發現解題方法，展示思路的形成過程，總結解題規律。指導學生搞好解題后的反思，從而提高學生綜合應用知識分析和解決問題的能力.
十一、學案設計（見下頁）
2.5平面向量應用舉例
課前預習學案
一、預習目標
預習《平面向量應用舉例》，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，建立實際問題與向量的聯系。
二、預習內容
閱讀課本內容，整理例題，結合向量的運算，解決實際的幾何問題、物理問題。另外，在思考一下幾個問題：
1.例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？
2.利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么？
3． 例3中，⑴ 為何值時，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內容
課內探究學案
一、學習內容
1.運用向量的有關知識（向量加減法與向量數量積的運算法則等）解決平面幾何和解析
幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題.
2.運用向量的有關知識解決簡單的物理問題.
二、學習過程
探究一：（１）向量運算與幾何中的結論＂若 ，則 ，且 所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會？
（２）舉出幾個具有線性運算的幾何實例．
例1．證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．
試用幾何方法解決這個問題
利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？
（1）建立平面幾何與向量的聯系，
（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。
變式訓練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設
（1）證明A、O、E三點共線；
（2）用 表示向量 。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的
中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎？
探究二：兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些力的問題是怎么回事？
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數學的角度解釋這種現象嗎？
請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：
⑴ 為何值時，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發到河對岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？
變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為
，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s; (2)計算s在 方向上的投影。
三、反思總結
結合圖形特點，選定正交基底，用坐標表示向量進行運算解決幾何問題，體現幾何問題
代數化的特點，數形結合的數學思想體現的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致，又體現了數學的美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。
本節主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決實際問題的步驟。
四、當堂檢測
1.已知 ，求邊長c。
2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2，求對角線AC的長。
3.在平面上的三個力 作用于一點且處于平衡狀態， 的夾角為 ，求：（1） 的大小；（2） 與 夾角的大小。
課后練習與提高
一、選擇題
1.給出下面四個結論：
①若線段AC=AB+BC，則向量 ；
②若向量 ，則線段AC=AB+BC；
③若向量 與 共線，則線段AC=AB+BC;
④若向量 與 反向共線，則 .
其中正確的結論有 （ ）
A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.河水的流速為2 ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度駛向對岸，則小
船的靜止速度大小為 （ ）
A.10 B. C. D.12
3.在 中，若 =0，則 為 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定
二、填空題
4.已知 兩邊的向量 ，則BC邊上的中線向量 用 、 表示為
5.已知 ，則 、 、 兩兩夾角是
課后練習答案
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoer/60041.html
相關閱讀：合情推理
函數的和差積商的導數學案練習題
橢圓定義在解題中的應用
基本算法語句
基本計數原理