一、教材分析
1.幾何概型是不同于古典概型的又一個最基本、最常見的概率模型，其概率計算原理通俗、簡單，對應隨機事件及試驗結果的幾何量可以是長度、面積或體積.
2.如果一個隨機試驗可能出現的結果有無限多個，并且每個結果發生的可能性相等，那么該試驗可以看作是幾何概型.通過適當設置，將隨機事件轉化為幾何問題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發生的概率.
二、教學目標
（1）正確理解幾何概型的概念；
（2）掌握幾何概型的概率公式；
（3）會根據古典概型與幾何概型的區別與聯系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；
（4）了解均勻隨機數的概念；
（5）掌握利用計算器（計算機）產生均勻隨機數的方法；
（6）會利用均勻隨機數解決具體的有關概率的問題．
三、教學重點難點
1、幾何概型的概念、公式及應用；
2、利用計算器或計算機產生均勻隨機數并運用到概率的實際應用中．
四、學情分析
五、教學方法
1．自主探究，互動學習
2．學案導學：見后面的學案。
3．新授課教學基本環節：預習檢查、疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思、當堂檢測→發導學案、布置預習
六、課前準備
1、通過對本節知識的探究與學習，感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數學思想與邏輯推理的數學方法；2、教學用具：投燈片，計算機及多媒體教學．七、課時安排：1課時
七、教學過程
1、創設情境：在概率論發展的早期，人們就已經注意到只考慮那種僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結果的情況。例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現的結果都是無限多個。
2、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；
（2）幾何概型的概率公式：
P（A）= ；
（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．
3、例題分析：
課本例題略
例1 判下列試驗中事件A發生的概度是古典概型，還是幾何概型。
（1）拋擲兩顆骰子，求出現兩個“4點”的概率；
（2）如課本P132圖3．3-1中的(2)所示，圖中有一個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規定當指針指向B區域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。
分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區域長度有關。
解：（1）拋擲兩顆骰子，出現的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；
（2）游戲中指針指向B區域時有無限多個結果，而且不難發現“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區域長度有關，因此屬于幾何概型．
例2 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率．
分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件.
解:設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內,因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= = ，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為 ．
小結：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0,60]上的均勻分布，X為[0,60]上的均勻隨機數．
練習：1．已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達站臺立即乘上車的概率。
2．兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率．
解：1．由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)= ；
2．記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)= = ．
例3 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？
分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而40平方千米可看作構成事件的區域面積，有幾何概型公式可以求得概率。
解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= = =0.004．
答：鉆到油層面的概率是0.004．
例4 在1升高產小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？
分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克種子可視作構成事件的區域，1升種子可視作試驗的所有結果構成的區域，可用“體積比”公式計算其概率。
解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則
P(A)= = =0.01．
答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01．
例5 取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點的距離取遍[0，3]內的任意數，并且每一個實數被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結果（基本事件）對應[0，3]上的均勻隨機數，其中取得的[1，2]內的隨機數就表示剪斷位置與端點距離在[1，2]內，也就是剪得兩段長都不小于1m。這樣取得的[1，2]內的隨機數個數與[0，3]內個數之比就是事件A發生的概率。
解法1：（1）利用計算器或計算機產生一組0到1區間的均勻隨機數a1=RAND．
（2）經過伸縮變換，a=a1*3．
（3）統計出[1，2]內隨機數的個數N1和[0，3] 內隨機數的個數N．
（4）計算頻率fn(A)= 即為概率P（A）的近似值．
解法2：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度[0，3]（這里3和0重合）．轉動圓盤記下指針在[1，2]（表示剪斷繩子位置在[1，2]范圍內）的次數N1及試驗總次數N，則fn(A)= 即為概率P（A）的近似值．
小結：用隨機數模擬的關鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體對應的區域轉化為隨機數的范圍。解法2用轉盤產生隨機數，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數不可能很大；解法1用計算機產生隨機數，可以產生大量的隨機數，又可以自動統計試驗的結果，同時可以在短時間內多次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性和規律性有更深刻的認識．
例6 在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，求這個正方形的面積介于36cm2 與81cm2之間的概率．
分析：正方形的面積只與邊長有關，此題可以轉化為在12cm長的線段AB上任取一點M，求使得AM的長度介于6cm與9cm之間的概率．
解：（1）用計算機產生一組[0，1]內均勻隨機數a1=RAND．
（2）經過伸縮變換，a=a1*12得到[0，12]內的均勻隨機數．
（3）統計試驗總次數N和[6，9]內隨機數個數N1
（4）計算頻率 ．
記事件A={面積介于36cm2 與81cm2之間}={長度介于6cm與9cm之間}，則P（A）的近似值為fn(A)= ．
八、反思總結，當堂檢測。
九、發導學案、布置預習。
完成本節的課后練習及課后延伸拓展作業。
設計意圖：布置下節課的預習作業，并對本節課鞏固提高。教師課后及時批閱本節的延伸拓展訓練。
十、板書設計
十一、教學反思
本課的設計采用了課前下發預習學案，學生預習本節內容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學生學習過程中易忘、易混點等，最后進行當堂檢測，課后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。
1、幾何概型是區別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度成比例；
2、均勻隨機數在日常生活中，有著廣泛的應用，我們可以利用計算器或計算機來產生均勻隨機數，從而來模擬隨機試驗，其具體方法是：建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數 ）有關，然后設計適當的試驗，并通過這個試驗的結果來確定這些量。
在后面的教學過程中會繼續研究本節課，爭取設計的更科學，更有利于學生的學習，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進步!
十二、學案設計(見下頁)
中數學組 編寫人：孫文森 審稿人： 龐紅玲 李懷奎
3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生
課前預習學案
一、預習目標
1. 了解幾何概型的概念及基本特點；
2. 掌握幾何概型中概率的計算公式；
3. 會進行簡單的幾何概率計算．
二、預習內容
1. 基本事件的概念: 一個事件如果 事件，就稱作基本事件.
基本事件的兩個特點:
10.任何兩個基本事件是 的；
20.任何一個事件(除不可能事件)都可以 .
2. 古典概型的定義：古典概型有兩個特征：
10.試驗中所有可能出現的基本事件 ；
20.各基本事件的出現是 ，即它們發生的概率相同．
具有這兩個特征的概率稱為古典概率模型. 簡稱古典概型.
3. 古典概型的概率公式, 設一試驗有n個等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m個基本事件，則事件A的概率P(A)定義為：
。
問題情境：
試驗１．取一根長度為 的繩子，拉直后在任意位置剪斷．
試驗２．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環.從外向內為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色．
奧運會的比賽靶面直徑為 ，靶心直徑為 ．運動員在 外射箭．假設射箭都能射中靶面內任何一點都是等可能的．
問題：對于試驗１：剪得兩段的長都不小于 的概率有多大？
試驗２：射中黃心的概率為多少？
新知生成：
1.幾何概型的概念：
2.幾何概型的基本特點：
3.幾何概型的概率公式：
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內容
課內探究學案
一、學習目標
1. 了解幾何概型的概念及基本特點；
2. 掌握幾何概型中概率的計算公式；
3. 會進行簡單的幾何概率計算．
學習重難點：
重點：概率的正確理解
難點：用概率知識解決現實生活中的具體問題。
二、學習過程
例題學習：
例1判下列試驗中事件A發生的概度是古典概型，還是幾何概型。
（1）拋擲兩顆骰子，求出現兩個“4點”的概率；
（2）如課本P135圖中的(2)所示,圖中有一個轉盤,甲乙兩人玩轉盤游戲,規定當指針指向B區域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。
例2某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，
求此人等車時間不多于10分鐘的概率．
例3在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，
假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？
例4在1升高產小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機取出10毫升，
則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？
例題參考答案：
例1分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區域長度有關。
解：（1）拋擲兩顆骰子，出現的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；
（2）游戲中指針指向B區域時有無限多個結果，而且不難發現“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區域長度有關，因此屬于幾何概型．
例2分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件.
解:設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內,因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= = ，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為 ．
小結：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0,60]上的均勻分布，X為[0,60]上的均勻隨機數．
例3分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的, 而40平方千米可看作構成事件的區域面積，由幾何概型公式可以求得概率。
解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= = =0.004．
答：鉆到油層面的概率是0.004．
例4
分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克種子可視作構成事件的區域，1升種子可視作試驗的所有結果構成的區域，可用“體積比”公式計算其概率。
解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則
P(A)= = =0.01．
答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01．
（三）反思總結
(四)當堂檢測
1．在500ml的水中有一個草履蟲，現從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現草履蟲的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能確定
2．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r
4．如圖3-18所示，曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個區域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個正方形，向正方形中隨機地撒一把芝麻，利用計算機來模擬這個試驗，并統計出落在區域A內的芝麻數與落在正方形中的芝麻數。
參考答案：
1．C（提示：由于取水樣的隨機性，所求事件A：“在取出2ml的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比 =0.004）
2．解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長度（記作OM）的取值范圍就是[o,a]，只有當r＜OM≤a時硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）= =
3．提示：本題應用計算器產生隨機數進行模擬試驗，請按照下面的步驟獨立完成。
（1）用1~45的45個數來替代45個人；
（2）用計算器產生1~45之間的隨機數，并記錄；
（3）整理數據并填入下表
試 驗
次 數5010015020025030035040045050060065070075080085090010001050
1出現
的頻數
1出現
的頻率
（4）利用穩定后1出現的頻率估計恰好選中學生甲的機會。
4．解：如下表，由計算機產生兩例0~1之間的隨機數，它們分別表示隨機點（x,y）的坐標。如果一個點（x,y）滿足y≤-x2+1，就表示這個點落在區域A內，在下表中最后一列相應地就填上1，否則填0。
xy計數
0.5988950.9407940
0.5122840.1189611
0.4968410.7844170
0.1127960.6906341
0.3596000.3714411
0.1012600.6505121
………
0.9473860.9021270
0.1176180.3056731
0.5164650.2229071
0.5963930.9696950
課后練習與提高
1．已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達站臺立即乘上車的概率
2．兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率 。
3．在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？
4．某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。
5.取一根長為3米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長都不少于1米的概率有多大?
參考答案：1．由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)= ；
2. 解：記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)= = ．
3. 解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= = =0.004．
答：鉆到油層面的概率是0.004．
4. 解：設A={等待的時間不多于10分鐘}，事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50，60]時間段內，因此由幾何概型的求概率公式得
P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6
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