數學必修1：方程的根與函數的零點
目標：
知識與技能理解函數（結合二次函數）零點的概念，領會函數零點與相應方程要的關系，掌握零點存在的判定條件．
過程與方法零點存在性的判定．
情感、態度、價值觀在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值．
重點：
重點零點的概念及存在性的判定．
難點零點的確定．
教學程序與環節設計：
教學過程與操作設計：
環節教學內容設置師生雙邊互動
創
設
情
境先來觀察 幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函 數的圖象：
○1方程 與函數
○2方程 與函數
○3方程 與函數
師：引導學生解方程，畫函數圖象，分析方程的根與圖象和 軸交點坐標的關系，引出零點的概念．
生：獨立思考完成解答，觀察、思考、總結、概括得出結論，并進行交流．
師：上述結論推廣到一般的一元二次方程和二次函數又怎樣？
組
織
探
究函數零點的概念：
對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點．
函數零點的意義：
函數 的零點就是方程 實數 根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標．
即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．
函數零點的求法：
求函數 的零點：
○1（代數法）求方程 的實數根；
○2（幾何 法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
師：引導學生仔細體會左邊的這段文字，感悟其中的思想方法．
生：認真理解函數零點的意義，并根據函數零點的意義探索其求法：
○1 代數法；
○2 幾何法．
二次函數的零點：
二次函數
．
１）△＞０，方程 有兩不等師：引導學生運用函數零點的意義探索二次函數零點的情況．
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組
織
探
究實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
２）△＝０，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
３）△＜０，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數 無零點．
生：根據函數零點的意義探索研究二次函數的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論．
零點存在性的探 索：
（Ⅰ）觀察二次函數 的圖象：
○1在區間 上有零點______；
_______， _______,
? _____0（＜或＞）．
○2在區間 上有零點______；
? ____0（＜或＞）．
（Ⅱ）觀察下面函數 的圖象
○1在區間 上______(有/無)零點；
? _____0（＜或＞）．
○2在區間 上______(有/無)零點；
? _____0（＜或＞）．
○3在區間 上 ______(有/無)零點；
? _____0（＜或＞）．
由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結論？
怎樣利用函數零點存在性定理，斷定函數在某給定區間上是否存在零點．生：分析函數，按提示探索，完成解答，并認真思考．
師：引導學生結合函數圖象，分析函數在區間端點上的函數值的符號情況，與函數零點是否存在之間的關系．
生：結合函數圖象，思考、討論、總結歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析．
師：引導學生理解函數零點存在定理，分析其中各條件的作用．
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例
題
研
究例1．求函數 的零點個數．
問題：
1）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？
2）判斷函數的單調性，由單調性你能得該函數的單調性具有什么特性？
例2．求函數 ，并 畫出它的大致圖象．師：引導學生探索判斷函數零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數的圖象，結合圖象對函數有一個零點形成直觀的認識．
生：借助計算機或計算器畫出函數的圖象，結合圖象確定零點所在的區間，然后利用函數單調性判斷零點的個數．
嘗
試
練
習1．利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
2．利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區間：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．師：結合圖象考察零點所在的大致區間與個數，結合函數的單調性說明零點的個數；讓學生認識到函數的圖象及基本性質（特別是單調性）在確定函數零點中的重要作用．
探
究
與
發
現1．已知 ，請探究方程 的根．如果方程有根，指出每個根所在的區間（區間長度不超過 1）．
2．設函數 ．
（1）利用計算機探求 和 時函數 的零點個數；
（2）當 時，函數 的零點是怎樣分布的？
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作
業
回
饋1．教材P108習題3．1（A組）第1、2題；
2．求下列函數的零點：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3．求下列函數的零點，圖象頂點的坐標，畫出各自的 簡圖，并指出函數值在哪些區間上大于零，哪些區間上小于零：
（1） ；
（2） ．
4．已知 ：
（1） 為何值時，函數的圖象與 軸有兩個零點；
（2）如果函數至少有一個零點在原點右側，求 的值．
5．求下列函數的定義域：
（1） ；
（2） ；
（3）
課
外
活
動研究 ， ，
， 的相互關系，以零點作為研究出發點，并將研究結果嘗試用一種系統的、簡潔的方式總結表達．考慮列表，建議畫出圖象幫助分析．
收
獲
與
體
會說 說方程的根與函數的零點的關系，并給出判定方程在某個區產存在根的基本步驟．
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