第三章基本初等函數
第一講冪函數
1、冪函數的定義
一般地，形如 （ R）的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 是常數.
如 等都是冪函數，冪函數與指數函數，對數函數一樣，都是基本初等函數.
注意： 中，前面的系數為1，且沒有常數項
2、冪函數的圖像
（1） （2） （3） （4） （5）
定義域RRR
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象限單調增減性在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞減
定點（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）
3、冪函數的性質
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因： ）；
（2） 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；
（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
第二講指數函數
1、指數
（1）n次方根的定義
若xn=a，則稱x為a的n次方根，“ ”是方根的記號.
在實數范圍內，正數的奇次方根是一個正數，負數的奇次方根是一個負數，0的奇次方根是0；正數的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數，0的偶次方根是0，負數沒有偶次方根.
（2）方根的性質
①當n為奇數時， =a.②當n為偶數時， =a=
（3）分數指數冪的意義
①a = （a＞0，m、n都是正整數，n＞1）.
②a = = （a＞0，m、n都是正整數，n＞1）.
2、指數函數的定義
一般地，函數 （ ＞0且 ≠1）叫做指數函數，其中 是自變量，函數的定義域為R.
說明：
因為 ＞0， 是任意一個實數時， 是一個確定的實數，所以函數的定義域為實數集R.
若 ＜0，如 在實數范圍內的函數值不存在.
若 =1, 是一個常量，
不符合 .
3、指數函數的圖像及其性質
圖象特征函數性質
＞1
0＜ ＜1
＞1
0＜ ＜1
向 軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R
圖象關于原點和 軸不對稱
非奇非偶函數
函數圖象都在 軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過定點（0，1） =1
自左向右，
圖象逐漸上升自左向右，
圖象逐漸下降增函數減函數
在第一象限內的圖
象縱坐標都大于1在第一象限內的圖
象縱坐標都小于1 ＞0， ＞1
＞0， ＜1
在第二象限內的圖
象縱坐標都小于1在第二象限內的圖
象縱坐標都大于1 ＜0， ＜1
＜0， ＞1
（1）底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.
（2）在 （ ＞0且 ≠1）值域是
（3）若
（4）對于指數函數 （ ＞0且 ≠1），總有
（5）當 ＞1時，若 ＜ ，則 ＜ ；
第三講對數函數
1、對數
（1）對數的概念
一般地，若 ，那么數 叫做以a為底N的對數，記作
叫做對數的底數，N叫做真數.
如： ，讀作2是以4為底，16的對數.
，則 ，讀作 是以4為底2的對數.
（2）指數式與對數式的關系：
ab=N logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
兩個式子表示的a、b、N三個數之間的關系是一樣的，并且可以互化.
（3）對數運算性質:
①loga（MN）=logaM+logaN. �、趌oga =logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④對數換底公式：logbN= （a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
（4）兩類對數
①以10為底的對數稱為常用對數， 常記為 .
②以無理數e=2.71828…為底的對數稱為自然對數， 常記為 .
以后解題時，在沒有指出對數的底的情況下，都是指常用對數，如100的對數等于2，即 .
2、對數函數的概念
一般地，我們把函數 （ ＞0且 ≠1）叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
3、對數函數的圖象及其性質
底數互為倒數的兩個對數函數的圖象關于x軸對稱.
圖象的特征函數的性質
（1）圖象都在 軸的右邊
（1）定義域是（0，+∞）
（2）函數圖象都經過（1，0）點（2）1的對數是0
（3）從左往右看，當 ＞1時，圖象逐漸上升，當0＜ ＜1時，圖象逐漸下降.（3）當 ＞1時， 是增函數，當
0＜ ＜1時， 是減函數.
（4）當 ＞1時，函數圖象在（1，0）點右邊的縱坐標都大于0，在（1，0）點左邊的縱坐標都小于0.當0＜ ＜1時，圖象正好相反，在（1，0）點右邊的縱坐標都小于0，在（1，0）點左邊的縱坐標都大于0.（4）當 ＞1時
＞1，則 ＞0
0＜ ＜1， ＜0
當0＜ ＜1時
＞1，則 ＜0
0＜ ＜1， ＜0
由上述表格可知，對數函數的性質如下
＞1
0＜ ＜1
性
質（1）定義域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）過點（1，0），即當 =1， =0；
（4）在（0，+∞）上是增函數在（0，+∞）是上減函數
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