6.1頻率與概率
本節通過一個堂實驗活動，讓學生逐步計算一個隨機事發生的實驗頻率，并觀察其規律性，從而歸納出實驗頻率趨近于理論概率這一規律性，同時進一步介紹一種計算概率的方法——列表法．實驗頻率穩定于理淪概率是本節乃至本的教學重點及難點之一，第二個重點則為能運用樹狀圖或列表法計算簡單事發生的概率．因此在教學過程中應注意：(1)注重學生的合作和交流活動，在活動中促進知識的學習，并進一步發展學生的合作交流意識和能力．這是社會迅猛發展的要求．同時．在本節中．要歸納出實驗頻率穩定于理論概率這一規律，必須借助于大量重復實驗，而堂時間是有限的，靠一個學生完成實驗次數自然不可能．因此必須綜合多個學生甚至全班學生的實驗數據，這就需要全班學生合作交流完成．(2)注重引導學生積極參加實驗活動，在實驗中頻率的穩定性，感受實驗頻率與理論概率之間的關系，并形成對概率的全面理解．發展學生的初步辯證思維能力，突破實驗頻率穩定于理論概率這一難點，進一步概率是描述隨機現象的數學模型．(3)關注學生對知識技能的理解和應用，借助列表和樹狀圖計算簡單事發生的概率．
6.1頻率與概率(一)
教學目標
(一)教學知識點
通過實驗．理解當實驗次數較大時實驗頻率穩定于理論概率，并據此估計某一事發生的概率．
(二)能力訓練要求
經歷實驗、統計等活動過程，在活動中進一步發展學生合作交流的意識和能力．
(三)情感與價值觀要求
1．積極參與數學活動．通過實驗提高學生學習數學的興趣．
2．發展學生的辯證思維能力．
教學重點 1．通過實驗.理解當實驗次數較大時。實驗頻率穩定于理論概率．并據此估計某一事發生的概率．
2．在活動中發展學生的合作交流意識和能力．
教學難點
辯證地理解當實驗次數較大時，實驗頻率穩定于理淪概率．
教學方法
實驗——交流合作法．
教具準備
每組準備兩組相同的牌，每組牌都有兩張；
多媒體演示：
教學過程
Ⅰ．創設問題情境，引入新
[師]我們在七年級時，曾用擲硬幣的方法決定小明和小麗誰去看周末的電影：任意擲一枚均勻的硬幣.如果正面朝上，小麗去；如果反面朝上，小明去．這樣決定對雙方公平嗎?
[生]公平!因為我們做過這樣的試驗，歷史上的數學家也做過擲硬幣的實驗，經過實驗發現當次數很大時，任意擲一枚硬幣．會出現兩種可能的結果：正面朝上、反面朝上．
這兩種結果出現的可能性相同.都是
[師]很好!我們再看一個問題：任意擲一枚均勻的小立方體(立方體的每個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6)．“6”朝上的概率是多少?
[生]任意擲一枚均勻的小立方體，所有可能出現的結果有6種：“1”朝上，“2”朝上。
“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，每種結果出現的概率都相等，其中“6”朝上的結果只有一種，因此P(“6”朝上)＝ .
[師]上面兩個游戲涉及的是一步實驗．如果是連續擲兩次均勻的硬幣。會出現幾種等可能的結果．出現“一正一反”的概率為多少呢?如果將上面均勻的小立方體也連續擲兩次，會出現幾種等可能的結果，兩次總數都是偶數的概率為多少呢?從這一節開始我們將進一步學習概率的有關知識．
我們用實驗的方法估計出了任意擲一枚硬幣“正面朝上”和“反面朝上”的概率．同樣
的我們也可以通過實驗活動．估計較復雜事的概率．
Ⅱ．分組實驗，進一步理解當實驗次數較大時，實驗頻率穩定于理論概率．
1．活動一：
活動題
通過摸牌活動，探索出“實驗次數很大時，實驗的頻率漸趨穩定”這一規律．
活動方式
分組實驗，全班合作交流．
活動步驟
準備兩組相同的牌，
每組兩張。兩張牌的牌
面數字分別是1和2．
從每組牌中各摸出一張，
稱為一次實驗．
(1)估計一次實驗中。兩張牌的牌面數字和可能有哪些值?
(2)以同桌為單位，每人做30次實驗，根據實驗結果填寫下面的表格：
牌面數字和234
頻數
頻率
(3)根據上表，制作相應的頻數分布直方圖．
(4)根據頻數分布直方圖．估計哪種情況的頻率最大?
(5)計算兩張牌的牌面數字和等于3的頻率是多少?
(6)六個同學組成一組，分別匯總其中兩人、三人、四人、五人、六人的實驗數據，相應得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時兩張牌的牌面數字之和等于3的頻率，填
寫下表．并繪制相應的折線統計圖．
實驗次數6090120150180
兩張牌面數字和等于3的頻數
兩張牌面數字和等于3的頻率
(在具體實驗活動的展開過程中．要力圖體現各個步驟的漸次遞進．(1)在一次實驗中，兩張牌的牌面數字和可能為2，3，4：(2)學生根據自己的實驗結果如實填寫實驗數據；(3)制作相應的頻數分布直方圖，一方面為了復習鞏固八年級下冊有關頻數、頻率的知識，同時也便于學生更為直觀地獲得(4)的結論；(4)一般而言，學生通過實驗以及上面(2)(3)的圖表容易猜想兩張牌的牌面數字和為3的頻率最大．理論上．兩張牌的牌面數字和為2，3，4的概率依次為 ，應該說，經過30次實驗，學生基本能夠猜想兩張牌的牌面數字和為3的頻率最大．當然，這里一定要保證實驗的次數，如果實驗次數太少，結論可能會有較大出入；(5)有了(4)中的結淪．自然過渡到研究其頻率的大�。斎唬瑑蓮埮频呐泼鏀底趾偷扔�3的頻率因各組實驗結果而異．正是有了學生結論的差異性，才順理成地展開問題(6)，匯總組內每人的實驗數據；(6)目的在于通過逐步匯總學生的實驗數據，得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時的頻率．并繪制相應的折線統計圖，從而動態地研究頻率隨著實驗次數的變化而變化的情況)
2．議一議
[師]在上面的實驗中，你發現了什么?如果繼續增加實驗次數呢?與其他小組交流所繪制的圖表和發現的結論．
[生]在與各組交流圖表的過程中，我發現：在各組的折線統計圖中，隨著實驗次數的增加，頻率的“波動”較小了．
[生]隨著實驗次數的增加，實驗結果的差異較小。實驗的數據即兩張牌的牌面數字和等于3的頻率比較穩定．
[生]一個人的實驗數據相差可能較大，而多人匯總后的實驗數據即兩張牌的牌面數字和等于3的頻率相差較�。�
[師]也就是說，同學們從實驗中都能體會到實驗次數較大時，實驗頻率比較穩定．請問同學們估計一下，當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率大約是多少?
[生]大約是 ．
[師]很好!準能將實驗次數更進一步增加呢?越大越好．
[生]可以把全班各組數據集中起，這樣實驗次數就會大大增加．
[師]太棒了!“眾人拾柴火焰高”，我們集小全班的實驗數據，交流合作，可以使實驗次數達到一千多次．下面我們匯總全班的實驗次數及兩張牌的牌面數字和為3的頻數，求出兩張牌的牌面數字和等于3的頻率．
(可讓各組一一匯報，然后清同學們自己算出)
[生]約為 ．
[師]與你們的估計相近嗎? [生]相近．
3．做—做
[師]你能用我們學過的知識計算出兩張牌的牌面數字和為3的概率嗎？
[生]每組牌中，每張牌被摸到的可能性是相同的，因此．一次實驗中．兩張牌的牌面數字的和等可能的情況有：
1+1＝2；1+2＝3；
2+1＝3；2+2＝4．
共有四種情況．而和為3的情況有2種，因此，P(兩張牌的牌面數字和等于3)= ＝ .
[生]也可以用樹狀圖表示，即

兩張牌的牌面數字的和有四種等可能的情況，而兩張牌的牌面數字和為3的情況有2次，因此．兩張牌的牌面數字的和為3的概率為 ＝ ．
4．想一想
[師]我們在前面估算出了當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率約為 ．接著又用樹狀圖計算出了兩張牌的牌面數字和等于3的概率也為 ．比較兩者之間的關系，你可以發現什么呢?同學們可相互交流意見．
[生]可以發現“實驗頻率穩定于理論概率”這一結論．
[生]也就是說，當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相應的概率附近．
[師]很好!由于實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相應的概率附近，因此我們可以通過多次實驗，用一個事發生的頻率估計這一事發生的概率．
“當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相心的概率附近”是否意味著。實驗次數越大。就越為靠近?應該說．作為一個整體趨勢，上述結論是正確的，但也可能會出現這樣的情形：增加了幾次實驗，實驗數據與理論概率的差距反而擴大了．同學們可從繪制的折線統計圖中發現．
Ⅲ．隨堂練習
活動二：
活動題
利用學生原有的實驗數據統計兩張牌的牌面數字和為2的頻率，進—步體會當實驗次數很大時，頻率的穩定性及其與概率之間的關系．
活動方式
小組活動，全班討論交流．
活動步驟
(1)六個同學組成一個小組，根據原的實驗分別匯總其中兩人、二人、四人、五人、六人的數據，相應得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時兩張牌的牌面數字和等于2的頻率．
(2)根據上面的數據繪制相應的統計圖
表，如折線統計圖．
(3)根據統計圖表估計兩張牌的牌面數字和等于2的概率．
(活動完成后，討論、)
[生]由我們組繪制的折線統計圖可以發現隨著實驗次數的增加，實驗的頻率在 處波動．而且波動越越�。�
[生]由此可估計兩張牌的牌面數字和等于2的概率為 ．
[師]你能用樹狀圖計算出它的理論概率嗎?
[生]可以，如下圖：

因此，P(兩張牌的牌面數字和為2)＝ .
Ⅳ．時小結
本節通過實驗、統計等活動，進一步理解“當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率”這一重要的概率思想．
Ⅴ．后作業
習題6．1
Ⅵ．活動與探究 下列說法正確的是……………( ) A. 某事發生的概率為 ，這就是說：在兩次重復實驗中，必有一次發生
B．一個袋子里有100個球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，沒摸到白球，結論：袋子里只有黑色的球
C．兩枚一元的硬幣同時拋下，可能出現的情形有：①兩枚均為正；②兩枚均為反；③一正一反，所以出現一正一反的概率是
D．全年級有400名同學，一定會有2人同一天過生日
[過程]“當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率”并不意味著，實驗次數越大，就越為靠近，應該說，作為一個整體趨勢，上述結論是正確的，更不能某某事的概率為 ，在兩次重復試驗中．就一定有一次發生、因此A不正確，B也不正確
而對于C，兩枚硬幣同時拋下，等可能的情況由樹狀圖可知有四種：

因此，出現一正一反的概率為 即 ，對于D，根據抽屜原理可知是正確的．
[結果]應選D．
板書設計
§6．1．1 頻率與概率
活動一：
活動目的[
活動方式
活動步驟：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
活動結果：當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率．
注：對上述結果的正確理解．應該說作為一種整體趨勢是正確的．
活動二：
活動目的
活動方式：分組、全班交流討論．
活動步驟：(1)(2)
活動結果：同上．


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